Матриця жорсткості та використання матриць з низькою жорсткістю


11

Приблизно, матриця рангу вважається жорсткою, якщо звести її ранг до nn ,для деякихϵ>0потрібно змінити принаймніn1+ϵсвоїх записів.n2n1+ϵϵ>0

Якщо матриці є жорстким, то наімалейшей прямий програма обчислення х ( х являє собою вектор розміру п ) є або супер-лінійним розміром, або має супер логарифмічну глибину.n×nAAxxn

Чи є протилежне до вищезазначеного твердження?

Іншими словами, чи використовуються нетривіальні та не очевидні матриці низької жорсткості повного рангу в TCS?

Чи існує поняття жорсткості для матриць з нижчими рядами (скажімо, для деякої постійноїc)?ncc


Axn×n

7
AA=B+CBCBCA

можливо спочатку добре попросити приклади матриць з не очевидно низькою жорсткістю
Сашо Ніколов

@vzn Ще один спосіб конвертувати зворотне - це "матриці низької жорсткості мають лінійні малі ланцюги". Ваша відповідь саме в зворотному напрямку (ні слова про додатки такого типу менш жорсткі -> ефективніші), тому -1
Сашо Ніколов

@MCH Добрий момент. Що може бути кращим від тривіального? Ви робите цікавий момент, я трохи зміню питання.
Т ....

Відповіді:


-3

не маючи подальшого уточнення питання, є спроба / ескіз відповіді. жорсткість матриці має глибокі зв'язки з основними питаннями в теорії складності TCS / складності, включаючи нижні межі ланцюга [1], тим самим розділення класів складності, теорію кодування [2], а також інші області. [5] - це приємне слайд-опитування.

терміни "низький" і "високий" стосовно жорсткості матриць використовуються неофіційно, а не в точно визначеному технічному сенсі. [хоча Фрідман все-таки визначав "сильну" жорсткість. [6]] Відомо, що випадкові матриці відрізняються високою жорсткістю, але в основному це ~ 3,5 десятиліття відкриває проблему в цій області явно побудувати будь-яку матрицю зі "значно високою" жорсткістю.

питання далі не визначає / уточнює суб'єктивні терміни "нетривіальний" або "непрозорий", і візьме там трохи свободи.

в цій області є ряд досліджень, що розглядають жорсткість матриць Адамара, які мають різні можливості використання / застосування в теорії кодування та в інших місцях.

здається справедливим сказати, що результат високої жорсткості перевершить межу, що приводить принаймні до "нових нетривіальних наслідків в теорії складності", але найбільш відомих меж на матрицях Адамара недостатньо. [3] але це не дає остаточного доказу, що вони мають обмежену "низьку" жорсткість. в основному та сама історія з матрицями Вандермонд [також додатків у теорії кодування], розглянутими Локамом. [4]

Таким чином, підсумовуючи все, що можна сказати, це те, що "слабкі межі жорсткості" були доведені на деяких матрицях, включаючи матриці Хадамара / Вандермонда.

також не з’являється жодних опублікованих чисельних експериментів, оцінок або алгоритмів у даній області.

[1] Складність булевої функції Стасіса Юкна, 2011, сек. 12.8 "жорсткі матриці вимагають великих схем"

[2] Про матричну жорсткість і локально самокоригувані коди Зеєва Двір

[3] Покращені нижні межі на стилістиці матриць Адамара Кашина / Разборова

[4] Про жорсткість матриць Вандермонд Локама

[5] Розмова про матрицю жорсткості матриці Мараді Черагхі

[6] Дж. Фрідман. Примітка про жорсткість матриці. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.