Формула Monotone 3CNF з обмеженими можливостями: підрахунок задовольняючих завдань (обидва за модулем)

Розглянемо формулу Monotone 3CNF, що має обидва наступні додаткові обмеження:

• Кожна змінна відображається точно $2$ пункти.
• Дано будь-яке $2$ пункти, вони поділяють максимум $1$ змінна.

Мені хотілося б знати, як важко підраховувати задовольняючі завдання такої формули.

Оновлення 06.04.2013 12:55

Я також хотів би знати, як важко визначити паритет кількості задовольняючих завдань.

Оновлення 11.04.2013 22:40

Що робити, якщо, крім описаних вище обмежень, ми також запроваджуємо обидва наступні обмеження:

• Формула плоска.
• Формула двостороння.

Оновлення 16.04.2013 23:00

Кожне задовольняюче завдання відповідає крайовій кришці $3$-регулярний графік. Після широкого пошуку, єдиний релевантний документ, який мені вдалося знайти підрахунку крайових обкладинок, є (3-й), який уже згадувався у відповіді Юваля. На початку такої роботи автори кажуть: "Ми ініціюємо вивчення вибірки (і пов'язаного з цим питання підрахунку) всіх крайових обкладинок графіка" . Я дуже здивований, що цій проблемі було приділено так мало уваги (порівняно з підрахунком вершинних обкладинок, які широко вивчені та набагато краще зрозумілі для кількох класів графіків). Ми не знаємо, чи є підрахунок крайових кришок$\#P$-твердий. Ми не знаємо, чи визначає паритет кількості крайових кришок$\oplus P$-Тверда, будь-яка.

Оновлення 06.06.2013 07:38

Визначення паритетності кількості крайових кришок є $\oplus P$-Твердо, перевірте відповідь нижче.

У будь-якому графіку парність числа кришок вершин дорівнює парності числа крайових кришок.

Щоб зрозуміти, чому, перевірте цю відповідь і спостерігайте, як паритет$|C|$ дорівнює паритету $\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$, що в свою чергу дорівнює паритету $O_{|V|} + E_{|V|}$, яка є кількістю крайових кришок.

Обчислення парності кількості вершинних кришок є $\oplus$P-жорсткий: тому обчислення парності кількості крайових кришок є $\oplus$P-жорсткий також.

Принаймні друга половина питання врегульована.

Можливо, ваша проблема є # P-повною, хоча я не зміг її знайти в літературі.

Ще один спосіб заявити про вашу проблему - "# 3-regular-edge-cover". Давши формулу, побудуйте графік, у якому кожне застереження відповідає вершині, а кожна змінна відповідає ребру. Оскільки формула є 3CNF, графік є 3-регулярним (або має максимальний ступінь 3, залежно від визначення). Крім того, графік простий. Задовільне завдання - це те саме, що і крайова кришка.

Ось кілька пов’язаних проблем:

• # 1-Ex3MonoSat # Р-повній . Це те саме, що і ваша проблема, лише задовольняюче рішення має задовольняти рівно одній змінній у кожному пункті.
• Підрахунок кількості кришок вершин у 3-регулярних плоских графах є # P-повним .
• Існує FPRAS для кришки №3-звичайного краю . Це говорить про те, що автори вважають, що проблема складна.