Структура даних для оновлень на інтервали та кількість запитів нулів

Я шукаю структуру даних, яка б підтримувала цілу таблицю розміром і дозволила наступні операції в часі . $t$ $n$ $O(\log n)$

$\text{increase}(a,b)$ , що збільшує . $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{decrease}(a,b)$ , яке зменшує . $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{support}()$ , який повертає кількість індексів таких, що . $i$ $t[i]\neq 0$

Ви обіцяєте, що кожен виклик, який зменшується, може бути порівняний з попереднім викликом для збільшення з тими ж параметрами . Я маю на увазі додаток - алгоритм швидкої лінії для обчислення за часом області об'єднання n заданих прямолінійних прямокутників. $a,b$ $O(n\log n)$

Квадратне дерево має розмір , тому це не є рішенням. Дерева Fenwick або Interval мають правильний аромат, але я не бачу, як їх розширити, щоб підтримати вищеописані операції. $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— Крістоф Дюрр
джерело

Дерева Fenwick не використовуватимуть обіцянку, що "кожен виклик, який зменшується, може бути прирівняний до попереднього виклику для збільшення з тими ж параметрами a, b", тому може бути більш просте рішення, використовуючи цю обіцянку (але вона покидає мене поки що).

— Джеремі

Оскільки кількість введених даних може бути не більше (ви можете виявити повтори та не вставити в структуру даних), ми все одно отримаємо продуктивність використовуючи загальну структуру даних дерева дерева вимірювань. Дивіться cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/… слайд 47-52.

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Чао Сю

Єремі та Чао Сю. Дякуємо за ваші коментарі. Зараз я розумію, як інтервальне дерево можна використовувати для підтримки загальної довжини об'єднання мінливого набору інтервалів. Це насправді дуже мила структура даних.

— Крістоф Дюрр

Для загальної проблеми структури даних для пошуку в час потрібен простір де - розмір списку активні пари координат. Але дійсно для алгоритму швидкої лінії тому простір залишається лінійним. Проблема все ще відкрита для структури даних з кращим простором, ніж , коли .

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Джеремі

Ось приємне посилання, де ви можете протестувати свої реалізації на інші рішення цієї ж проблеми: spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Segal-Halevi

Відповіді:

Використовуйте дерево сегмента - рекурсивний розділ діапазону на менші діапазони. Кожен інтервал ваших операцій оновлення може бути розділений на діапазонів у цьому рекурсивному розділі. Для кожного діапазону зберігайте: $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

Кількість інтервалів , збільшених і не зменшених, таким чином, що є одним з діапазонів, на який розділяється $c(x,y)$ $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
Кількість комірок, які не охоплені розділеними підмножинами інтервалів, що знаходяться при або нижче в ході рекурсії $u(x,y)$ $[x,y]$

Тоді, якщо рекурсивно розбивається на і маємо тому ми можемо оновлювати кожне значення у постійний час, коли інші дані для діапазон змінюється. На кожен запит підтримки можна відповісти, поглянувши на . $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

u (x, y) = {\begin{cases} 0 & if c (x, y) > 0 \\ u (x, z) + u (z + 1, y) & otherwise \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

Щоб виконати операцію збільшення , розділ на діапазони , приріст для кожного з цих діапазонів, і використовуйте формулу вище для перерахунку для кожного з цих діапазонів і кожного їх предків. Операція зменшення збігається із зменшенням замість приросту. $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— Девід Еппштейн
джерело

Я не думаю, що я розумію твою другу кулю. У піддереві з гниллю, позначеною , які комірки не охоплені розділеними підмножинами інтервалів на ? Чи не охоплюється весь діапазон , тому ?

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

— jbapple

Це залежить від того, які операції з збільшення ви зробили. Спочатку всі вони розкриваються, але коли ви збільшуєте невеликий інтервал у межах (або будь-який інтервал, який починається або закінчується в межах , або що включає у свій розділ), він зменшується.

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

— Девід Еппштейн

Чи можете ви навести приклад?

— jbapple

Припустимо, ваш інтервал - це числа [1,8]. Рекурсивно поділяється на [1,4], [4,8], потім [1,2], [3,4], [5,6] та [7,8], то всі одноелементні діапазони. Спочатку все розкрито, всі c [x, y] = 0, і кожен діапазон має u = свою довжину. Але тоді припустимо, що ви виконуєте операцію збільшення [2,6]. Максимальні діапазони O (log n), на які [2,6] можна розкласти, є [2,2], [3,4] та [5,6], тому для цих трьох ми встановимо c [x, y] варіюється до 1. Відповідно до формули у моїй відповіді, це призводить до того, що і [x, y] для цих трьох діапазонів також стає 0. u [1,2] стає 1, u [1,4] також стає 1, u [ 5,8] = 2, а u [1,8] = 1 + 2 = 3

— Девід Еппштейн

Ви можете підтримати та в та в час. $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ Ключова ідея - розбити таблицю на групи розміром . Тоді кожна операція з модифікації ( або ) працює на максимум групах , і лише на ті, які знаходяться в кінці її діапазону ( і , у вашій формулюванні) взяти час. $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
джерело

Чому б не взяти такий підхід до межі. Замість того, щоб згрупувати у відра , ми можемо натомість сформувати дерево, подібне до цього: 1 / \ 2 3 / \ / \ 4 5 6 7 З якого, оновляючи, ви приймаєте для всіх операцій.

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$

— С. Пек