Яка різниця між стрілами та експонентними предметами в декартовій закритій категорії?

У декартовій Закритої категорії ( КТС ), існують так звані показові об'єкти , написаних . Коли КТС розглядаються як модель просто збірний λ -ісчісленіе , експоненціальне об'єкт як B A характеризує функціональний простір від типу A до типу B . Експоненційний об’єкт вводиться стрілкою, яка називається c u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C $B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$ і ліквідується стрілкою, яка називається a p p l y : C B × B → C (яка, на жаль, називається e v a l у більшості текстів з теорії категорій). Мої запитання тут: чи є різниця між експоненціальним об'єктом C B і стрілкою B → C ?$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$$C^B$$B \rightarrow C$

Одне - внутрішнє, а друге - зовнішнє .

Категорія складається з предметів і морфізмів. Коли ми пишемо F : A → B ми маємо в виду , що F є морфізм з об'єкта А для об'єкта B . Ми можемо зібрати всі морфізми від А до В у сукупність морфізмів H o m C ( A , B ) , що називаються "домашнім набором". Цей набір не є об'єктом C , а скоріше об'єктом категорії множин.$\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

На противагу цьому , експоненціальне є об'єктом C . Саме так " C думає про свої домашні набори". Таким чином, В повинні бути оснащені будь-якою структурою об'єктів C є.$B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Як приклад, розглянемо категорію топологічних просторів. Тоді - суцільна карта від X до Y , а H o m T o p ( X , Y ) - безліч усіх таких безперервних карт. Але Y X , якщо він існує, - це топологічний простір! Ви можете довести , що точки Y X є (у взаємно однозначним дотриманням) неперервних відображень з X в Y . Насправді це справедливо в цілому: морфізми 1 → B $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$(які є "глобальними точками ") знаходяться в біектичній відповідності з морфізмами A → B , тому що H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , Б ) $B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

Іноді ми отримуємо неакуратно про написання на відміну від A → B . Насправді, часто ці два є синонімами, з розумінням, що f : A → B може означати «о, до речі, тут я мав на увазі інше позначення, тож це означає, що f - морфізм від А до В ». Наприклад, коли ви записували каррі з морфізмом каррі : ( A × B → C ) → ( A → C B ), ви справді повинні були написати каррі$B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ Тож ми насправді не можемо звинуватити нікого в заплутанні тут. Внутрішній → використовується у внутрішньому значенні, а зовнішній у зовнішньому. $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$$A \to B$