Основні невирішені проблеми в теоретичній інформатиці?


218

У Вікіпедії перелічено лише дві проблеми під "невирішеними проблемами інформатики" :

Які ще основні проблеми слід додати до цього списку?

Правила:

  1. Лише одна проблема на відповідь
  2. Надайте короткий опис та будь-які відповідні посилання

1
Оскільки ви запитуєте список, і немає однозначної відповіді, це може працювати краще, позначене як вікі спільноти.
Даніель Апон

2
Одна невирішена проблема за відповідь, будь ласка; тоді ми можемо легко оцінити відповіді, голосуючи вгору / вниз!
Jukka Suomela

15
Чому тільки результати складності? TCS - це більше, ніж складність! Немає відкритих проблем в теорії типів? мови програмування?
Жак Карет

3
додайте їх, Жак :).
Суреш Венкат

8
Я думаю, що ми повинні розрізняти основні відкриті проблеми, які розглядаються як фундаментальні проблеми, наприклад, , і основні відкриті проблеми, які будуть технічним проривом, якщо їх вирішити, але не обов'язково є основоположними, наприклад, експоненціальні нижчі межі на ланцюгів (тобто воріт). Таким чином, ми, можливо, повинні відкрити нову вікі спільноти під назвою "відкриті проблеми на кордонах TCS" тощо. A C 0 ( 6 )PNPAC0(6)AC0+mod6
Іддо Цамарет

Відповіді:


137

Чи можна множення на матриць зробити в операціях ?n O ( n 2 )nnO(n2)

Експонент найвідомішої верхньої межі навіть має спеціальний символ . В даний час становить приблизно 2.376 за алгоритмом Coppersmith -Winograd . Приємний огляд сучасного рівня - Сара Робінсон, « До оптимального алгоритму множення матриці» , SIAM News, 38 (9), 2005.ωωω

Оновлення: Ендрю Stothers (в його 2010 дисертації ) показав , що , який був удосконалений Вірджинія Vassilevska Williams (в липні 2014 препринт ) в . Обидва ці межі були отримані ретельним аналізом основної методики Копперсміта-Винограда.ω < 2,372873ω<2.3737ω<2.372873

Подальше оновлення (30 січня 2014 р.): Франсуа Ле Ґалл довів, що у статті, опублікованій у ISSAC 2014 (передрук arXiv ).ω<2.3728639


Як щодо скромної та реалістичної мети чи якоїсь іншої функції між та ? Зрештою очікується, що ціле множення має нижню межу . n 2 + ϵ n 2 O ( n log n )O(n2logn)n2+ϵn2O(nlogn)
Мітч

Я не впевнений, що перехід від рівних до розцінюється як "скромна і реалістична мета", не кажучи вже про те, що нижче . Але було б чудово побачити деякий прогрес, так що дайте змогу! 2 + ϵ 2 + ϵ2+0.3762+ϵ2+ϵ
Андрас Саламон

13
Експонент множення матриці визначається як найменше дійсне число таке, що арифметичних операцій вистачає на всі . Ймовірно, слід очікувати такого фактора, як . O ( n ω + ϵ ) ϵ > 0 log nωO(nω+ϵ)ϵ>0logn
Зейю

2
Просто додавши для повноти wrt поточні знання про те, що CW зв'язаний був покращений кілька днів тому Вірджинія Вільямс. І як зазначають багато інших в громаді, Ендрю Стотерс здобув своє обмежене побиття КВ приблизно за рік до Вірджинії. Поточний запис -O(n2.373)
Акаш Кумар

Я просто дозвольте це дослідити
тут.microsoft.com/

123

Чи графний ізоморфізм у P?

Складність графічного ізоморфізму (GI) є відкритим питанням протягом декількох десятиліть. Стівен Кук згадував про це у своїй статті 1971 про NP-повноту SAT .

Визначення того, чи є два графіки ізоморфними, зазвичай можна зробити швидко, наприклад, за допомогою програмного забезпечення, такого як nautyі saucy. З іншого боку, Міядзакі побудував класи примірників, для яких, nautyочевидно, потрібен експоненційний час.

Read and Corneil розглянули багато спроб вирішити складність ШКТ до цього моменту: Захворювання графа Ізоморфізм , Журнал теорії графіків 1 , 339–363, 1977.

GI невідомо, що він знаходиться в ко-NP, але існує простий рандомізований протокол для графіка Неізоморфізм (GNI). Отже, вважається, що GI (= co-GNI) є "близьким" NP co-NP.

З іншого боку, якщо GI є NP-повним, то поліноміальна ієрархія руйнується. Таким чином, GI навряд чи буде NP-завершеним. (Боппана, Хестад, Захос, чи має спільний НП короткі інтерактивні докази? IPL 25 , 127–132, 1987)

Шива Кінталі приємно обговорив складність GI у своєму блозі.

Ласло Бабай довів, що Графічний ізоморфізм знаходиться в субекспоненціальному часі .


Будь ласка, подивіться і на цей запис .
MS Dousti

Я прокрутив точну нижню межу для виявлення загальної грубої сили автоматифізму. oeis.org/A186202 Набагато меншеале все ще експоненціальна. Сподіваючись, Маккей приєднає його до Schrier-Sims за останнє втілення NAUTY, щоб змусити його працювати на паралельному обладнанні. n!
Чад Brewbaker


4
Позов було відновлено: people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html
niting

91

Будь-які хороші публікації, які вам відомі, описують складність тестування факторів чи первинність щодо структури напівгрупи перетворень додавання та множення на Z_n? Наприклад, на [0,1,2] - трансформація +0 | x1, [1,2,0] - це перетворення +1 ...Z3
Чад Брюбекер


66

Чи існує поворотне правило для симплексного алгоритму, який дає найгірший час виконання поліномів? Загалом, чи існує сильно поліноміальний алгоритм лінійного програмування?


11
Я додам до цього питання: чи показало б, що відсутність сильно поліноміального LP означає будь-які результати поділу класів?
Ананд Кулкарні

,,, і здогадка Гірша ...
Саріель Хар-Пелед

7
У 2011 р. Олівер Фрідман показав експоненціальні нижчі межі для багатьох правил, що рухаються (він фактично стверджує, що «по суті всі природні» правила перемикання, включаючи Random Facet і Random Edge). Ці межі застосовуються при вирішенні лінійної програми, отриманої з парних ігор для двох гравців. Дисертація Фрідмана edoc.ub.uni-muenchen.de/13294 досліджує історію в деякій глибині (включаючи різні форми Конституції Гірша та протилежний зразок 2010 року Франциско Сантосу).
Андраш Саламон

63

Експоненціальне час гіпотеза (ETH) стверджує , що рішення SAT вимагає експоненціального, 2 Ω (п) час. ETH означає багато речей, наприклад, що SAT не знаходиться в P, тому ETH означає P ≠ NP. Дивіться Імпальяццо, Патурі, Зейн, які проблеми мають сильну експоненціальну складність? , JCSS 63, 512–530, 2001.

Поширена думка про ETH, але це, ймовірно, важко довести, оскільки це передбачає багато інших розділень класу складності.


4
Серйозно, я б не назвав ETH основною відкритою проблемою на даний момент часу саме тому, що це передбачає P ≠ NP, і, отже, це як мінімум важко довести.
Холгер

17
Немає? ІМХО, ваш аргумент означає, що ETH навіть є більшою відкритою проблемою, ніж PvsNP.
Jeffε

Чи можете ви пояснити, чому не передбачає ETH? PNP
Еміль

13
Якщо , то , але ETH хибне. P N PNP=PTIME(nlogn)PNP
Джефф

3
Ну, тоді добре. Але ви маєте на увазі DTIME ( )? nlogn
Еміль

59

Іммерман і Варді показують, що логіка фіксованої точки фіксує PTIME в класі упорядкованих структур. Однією з найбільших відкритих проблем теорії описової складності є те, чи можна усунути залежність від порядку:

Чи є логіка, яка захоплює PTIME?

Простіше кажучи, логіка захоплення PTIME - це мова програмування для задач графіків, яка працює безпосередньо над структурою графа і не має доступу до кодування вершин і ребер, таким чином, щоб утримуватись:

  1. будь-яка синтаксично правильна програма моделює обчислювану графіку поліноміально-часової задачі та
  2. будь-яка проблема, що обчислюється графом у багаточлен, може бути змодельована синтаксично правильною програмою.

Якщо немає логіки, яка фіксує PTIME, то оскільки NP захоплюється екзистенціальною логікою другого порядку. Логіка захоплення PTIME забезпечила б можливу атаку P проти NP.PNP

Дивіться блог Ліптона для неофіційної дискусії та М. Грохе: Квест логіки, що фіксує PTIME (LICS 2008) для більш технічного опитування.


3
Іммерман-Варді показує, що FO (LFP) фіксує логіку на <i> впорядкованих </i> структурах, тому це питання про захоплення PTIME на довільних скінченних моделях, я вважаю. Якщо я вас правильно зрозумів, чи не це питання є перекладом запитання, чи P! = NP? Можливо, буде більш наголошено запитати одну або кілька відкритих проблем у опитуванні, на яке ви посилаєтесь. Вибачте, якщо я тут не знаю.
Аарон Стерлінг

5
Дякую, я відредагував відповідь, щоб згадати Іммермана-Варді для роз'яснення. Ні, ця відкрита проблема, як відомо, не рівнозначна P проти NP. Відкриті проблеми в опитуванні є особливими випадками великої відкритої проблеми і не доречні в цій темі. Можливо, ця довідка також буде корисною: rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…
Холгер

55

Чи правдива думка про унікальні ігри ?
І: З огляду на те, що існують алгоритми наближення до субекспоненціального часу для Унікальних Ігор , де проблема в кінцевому підсумку опирається на ландшафт складності?


Чи не було б точніше сказати, що якщо UGC не відповідає дійсності (тобто унікальні ігри не є NP-жорсткими, просто складніше P), де UGC впишеться в ландшафт?
Андраш Саламон

На жаль Так, я повинен це переформулювати. Мій намір полягав у тому, щоб виділити очевидну невідповідність, що виникає в результаті унікальних ігор, що мають нетривіальний алгоритм апроксимації в субекспоненціальний (але не зовсім поліноміальний) час. Докладніше: Що це говорить, якщо субекспоненціальний час запуску є оптимальним для унікальних ігор?
Даніель Апон

2
В ретроспективі я подумав, що я повинен включити покажчик до цього переддруку . На мою думку, це така велика подія, як папір, яку я пов'язав у відповіді.
Даніель Апон

1
Варто зазначити, що невідомі важкі екземпляри UCG. Нинішній найкращий підхід працює ефективно у кожному випробуваному випадку. Ми просто не можемо довести, що ми знайшли найбільш патологічні приклади.
Стелла Бідерман

55

Постійний проти детермінантний

Постійне проти визначального питання цікаве через два факти. По-перше, константа матриці підраховує кількість досконалих відповідностей у двопартійному графіку. Тому постійною такою матрицею є # P-Complete. У той же час визначення постійного дуже близьке до визначального, в кінцевому рахунку відрізняється лише через просту зміну знака. Детермінантні обчислення добре відомі в P. Вивчення різниці між постійною та детермінантною, а також кількість детермінантних обчислень, необхідних для обчислення постійних, говорять про P проти # P.


5
Для мене це не кваліфікується як "велика відкрита проблема", тому що фактичне теоретичне питання про складність (чи мають вони різні складності) підпадає під P = NP (оскільки # P є надмножиною NP), і це питання відкладається тут не виникає конкретної проблеми.
Девід Еппштейн

Я фактично з цим згоден.
Росс Снайдер

10
@DavidEppstein: Per v. Det ближче до GapP v GapL, аналоговому підрахунку NP v NL. Можливо, що і, отже, . Крім того, per v det є набагато старшим за P v NP, по суті, повертаючись до [Polya 1913], в якому він показує, що не можна прикріплювати знаки до матриці, щоб змінити її постійну на її визначник (за винятком 2х2). Валіан представив варіант щодо цих питань (дозволяючи розміру дет бути більшим за n) через його значущість у складності, але навіть до-Валіанські роботи дають мотивацію "тому, що постійне так важко обчислити ..." (наприклад Gibson 1971)G a p P G a p LNLP=NPGapPGapL
Джошуа Грохов

Які зараз є сучасні алгоритми для обчислення постійної матриці 0-1? тобто кількість легальних матриць перестановки, які можна створити з підмножини 1-х.
Чад Brewbaker

@ChadBrewbaker: див. Марк Джеррум, Алістер Сінклер, Ерік Вігода, "Алгоритм апроксимації поліноміального часу для постійної матриці з невід'ємними записами", Journal of ACM 51/4 (2004), 671, citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116
Zsbán Ambrus

47

Чи можемо ми обчислити FFT за набагато менше, ніж часу?O(nlogn)

У тому ж (дуже) загальному сенсі виникає багато питань щодо покращення пробігу багатьох класичних задач або алгоритмів: наприклад, чи можна вирішити всі пари-найкоротші шляхи (APSP) в час?O(n3ϵ)

Редагувати: APSP запускається в часі ", де доповнення та порівняння реалів є одиничною вартістю (але всі інші операції мають типові логарифмічна вартість) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf(n32Ω(logn)1/2)


3
Цікава розробка на FFT: "* алгоритм часу O (k log n) -час для випадку, коли вхідний сигнал має максимум k ненульових коефіцієнтів Фур'є, і * An O (k log n log (n / k)) - алгоритм часу для загальних вхідних сигналів. " джерело: arxiv.org/abs/1201.2501v1
Шадок

46

Динамічна оптимальність гіпотеза для розширення дерев.

Або загалом: чи є конкурентоспроможним будь-яке дерево динамічного бінарного дерева пошуку O (1)?


майже все, що це.
Суреш Венкат

Є також новіші дерева-блискавки , які O (lg lg n) є конкурентоспроможними, не відмовляючись від O (lg n) найгіршого часу доступу.
jbapple


44

NP проти ко-NP

Питання NP проти ко-NP цікаво тим, що NP ≠ co-NP означає P ≠ NP (оскільки P закритий доповненням). Це також стосується "подвійності": розділення між знаходженням / перевіркою прикладів та знаходженням / перевіркою контрприкладів. Насправді, доведення того, що питання є і в НП, і в спільному НП, є нашим першим хорошим свідченням того, що проблема, яка, здається, знаходиться поза Р, також, ймовірно, не є повною NP.


7
Це також пов’язано з пропозицією доказової складності. Існує система поліномічного доказування, якщо дорівнює . c o N PNPcoNP
Kaveh

41

Чи є проблеми, які не можуть ефективно вирішити паралельні комп'ютери?

Невідомо, що проблеми, які є P-повними, не можуть бути паралельними. До повних проблем відносяться Horn-SAT та лінійне програмування. Але доведення, що це так, потребує відокремлення поняття паралелізуючих задач (наприклад, NC або LOGCFL) від P.

Конструкції комп'ютерних процесорів збільшують кількість процесорних одиниць, сподіваючись, що це дасть покращену продуктивність. Якщо фундаментальні алгоритми, такі як лінійне програмування, за своєю суттю не є паралельними, то існують значні наслідки.


16
Я майже впевнений, що алгоритми LP, як вони існують сьогодні, не є паралельними. Я вважаю, що вони вписуються в оперативну пам'ять Mulmuley без операцій з бітами. В dx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 К. Малмулей. Нижні межі в паралельній моделі без бітових операцій. SIAM J. Comput. 28 (4), 1460-1509 (1999) він показує, що у цій моделі, показуючи, що багато природних (як правило, чисельних) алгоритмів для повних задач не є паралельними. Це не відповідає на запитання у булевій справі, але це відповідає на великий клас природних алгоритмів. PNCP
Джошуа Грохов

41

Чи всі пропозиції тавтології мають докази Фреге поліноміального розміру?

Можливо, головна відкрита проблема складності доказування : продемонструйте нижню межу суперполіномальних розмірів щодо пропозиційних доказів (так званих також доказів Фреге).

Неофіційно система доказування Фреге - це лише стандартна система доказів для доказування пропозиційних тавтологій (навчається в основному логічному курсі), що має аксіоми та правила дедукції, де доказові рядки записуються як формули. Розміром з докази фрегат є кількістю символів , він приймає , щоб записати доказ.

Проблема потім запитує, чи існує сім'я пропозиційних тавтологічних формул, для яких немає полінома таким, щоб мінімальний розмір доказу Фреге був не більше , для всіх (де позначає розмір формули ).(Fn)n=1pFnp(|Fn|)n=1,2,|Fn|Fn


Формальне визначення системи перевірки Фреге

Визначення (правило Фреге) Правило Фреге - це послідовність пропозиційних формул , для , записана як . У випадку , правило Фреге називається схемою аксіом . Формула як кажуть, виведена правилом з якщо це всі екземпляри заміщення , для деякого присвоєння змінним (тобто є формули A0(x¯),,Ak(x¯)k0A1(x¯),,Ak(x¯)A0(x¯)k=0F0F1,,FkF0,,FkA1,,Akx¯B1,,Bn такі, що для всіх . Кажуть, що правило Фреге звучить, якщо кожен раз, коли призначення задовольняє формулам у верхній частині , то воно також задовольняє формулі в нижній частині .Fi=Ai(B1/x1,,Bn/xn),i=0,,kA1,,AkA0

Визначення (доказ Frege) Враховуючи набір правил Frege, доказ Frege - це послідовність формул, така що кожна доказова лінія є або аксіомою, або була отримана одним із заданих правил Frege з попередніх ліній перевірки. Якщо послідовність закінчується формулою , то доказ , як кажуть, є доказом . Розміром з докази фрегат є загальним розміром всіх формул в доказі.AA

Доказ система називається implicationally повним , якщо для всіх набору формул , якщо семантично означає , тобто доказ з допомогою (можливо) аксіоми з . Кажуть, що система доказування є здоровою, якщо вона допускає докази лише тавтологій (коли не використовуються допоміжні аксіоми, як у вище).TTFFTT

Визначення (система захисту від Frege) З огляду на мову пропозиції та обмежений набір звукових правил Frege, ми говоримо, що є системою доказування Фреге, якщо імпліцитно завершена.PPP

Зауважте, що доказ Frege завжди звучить, оскільки правила Фреге вважаються звуковими. Нам не потрібно працювати з конкретною системою доказування Фреге, оскільки основний результат складності доказів говорить про те, що кожна дві системи доказів Frege, навіть на різних мовах, є поліноміально еквівалентними [Reckhow, кандидатська дисертація, Університет Торонто, 1976].


Встановлення нижчих меж доказів Фреге можна розглядати як крок до доказу , оскільки якщо це правда, то жодна пропозиційна система доказів (включаючи Фреге) не може мати доказів поліноміального розміру для всіх тавтологій.NPcoNP


38

Чи можемо ми обчислити відстань редагування між двома рядками довжиною за підквадратичний час, тобто за час для деякого ?nO(n2ϵ)ϵ>0


8
У вас є посилання на це? Насправді я вважав, що це твердження банально хибне, хоча я не можу придумати доказ у верхній частині голови. (Хоча я знаю, що час виконання може бути зроблений залежно від кількості помилок.)
Конрад Рудольф

5
Оновлення (STOC 2015): Backurs та Indyk свідчать про те, що кращий, ніж квадратичний час, неможливий. Дивіться rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidence .
Ніл Янг

38

Чи існують справді алгоритми підквадратичного часу (мається на увазі час для деякої постійної ) для 3SUM-жорстких проблем ?O(n2δ)δ>0

У 2014 році Грінлунд та Петті описали детермінований алгоритм для самого 3SUM, який працює в часі . Хоча це головний результат, поліпшення порівняно з є лише (під) логарифмічним. Більше того, для більшості інших проблем із 3SUM не відомо жодних подібних підквадратичних алгоритмів.Про ( п 2 )O(n2/(logn/loglogn)2/3)O(n2)


9
Гарне питання. Однак існування субквадратичних алгоритмів для задачі 3SUM широко відкрито навіть для рандомізованих алгоритмів. Звичайно, детермінований алгоритм був би ще приємнішим ..
Пьотр,

3
У квантовому випадку відомі відповідні n log (n) нижньої та верхньої межі для 3SUM: Андрій Дубровський, Оксана Сцегульна-Дубровська Покращені квантові нижні межі для тривимірної задачі. Праці Балтійської DB&IS 2004, том. 2, Рига, Латвія, с.40-45.
Мартін Шварц

1
У мене було враження, що у нас немає n ^ 2 нижньої межі для будь-якої проблеми в NP.
Саріель Хар-Пелед

1
У мене склалося чітке враження, що якщо ви обмежуєтесь вирішенням проблем (немає вихідних аргументів), то нічого невідомо. Але вам слід попросити людину складності.
Саріель Хар-Пелед

3
Нещодавній документ arXiv стверджує, що це рішення було вирішено шляхом надання субквадратичних алгоритмів для 3-SUM.
Мангара

35

BQP = P?

Також: NP, що міститься в BQP?

Я знаю, що це порушило правила, маючи у відповіді два запитання, але якщо їх взяти з питанням P проти NP, вони не обов'язково є незалежними питаннями.


33
  1. Концепція ізоморфізму. (Чи всі проблеми, завершені NP, є "тією ж" проблемою?)
  2. Чи може криптовалюта базуватися на повній NP-проблемі?

  3. і трохи далі від мейнстріму:

  4. Який розмір NP в межах EXP?

(Неофіційно, якщо у вас є всі проблеми в EXP на столі, і ви збираєте одну рівномірно випадково, яка ймовірність того, що обрана вами проблема також є в НП? Це питання було оформлено поняттям обмеженого ресурсом міри . Відомо, що P має показник нуля в межах EXP, тобто проблема, яку ви зібрали зі таблиці, майже напевно не в P.)


Це те саме, що р-міра в зоопарку складності? Куди б я пішов читати більше про це?
Андраш Саламон

2
P-міра є одним із прикладів обмеженого ресурсом міри: більш загально, ви можете уявити собі машину, яка намагається передбачити послідовність, а обчислювальні ресурси, які вона має для цього, - це те, що забезпечує ресурс, пов'язаний з мірою. Я використовував p-міру в своєму неофіційному поясненні EXP на столі. Для подальшого читання я рекомендую журнальну версію наступного опитування Лутца (CZ цитує конференційну версію цього опитування). cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps (в постскрипті, я сподіваюся, що це нормально)
Аарон Стерлінг

Дякую. Ось PDF цього документа для тих, хто не може прочитати PS: archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/…
András Salamon

2
Так, на ваше перше запитання. P має міру 0 в EXP, тож якщо NP цього не зробиш, ти отримаєш P! = NP негайно. Щодо другого питання, я пропоную вам прочитати останній абзац сторінки 28 в опитуванні, з яким я зв’язався Андрас. (Недостатньо місця в коментарі, щоб вставити його сюди, вибачте.) В основному, якщо NP має міру нуля, існує можливий алгоритм, який міг би "безпідставно" здогадатися про приналежність до NP-жорсткої проблеми. Тож мабуть, що NP не вимірює нуль у межах EXP.
Аарон Стерлінг

1
@Artem: ви можете почати тут: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/…
Аарон Стерлінг

29

Яка приблизність метричної TSP ? Алгоритм Христофідеса 1975 року є алгоритмом апроксимації поліноміального часу (3/2). Чи NP-важко зробити краще?

  • Наближення метричної TSP до коефіцієнта менше 220/219 є NP-жорстким (Papadimitriou and Vempala, 2006 [PS] ). Наскільки мені відомо, це найвідоміша нижня межа.

  • Існують певні докази того, що фактична межа може бути 4/3 (Carr and Vempala, 2004 [Безкоштовна версія] [Гарна версія] ).

  • Верхня межа приблизності була нещодавно знижена до (Mucha 2011 "13/9 -приближення для графічного TSP" [ PDF ])13/9


1
Метричний TSP нещодавно зроблений 3/2 - e, де e є постійним (біля 0,002)
Saeed,


2
@Saeed, ти мав на увазі алгоритм лише для особливого випадку Metric TSP: для Graphic TSP? Тоді його було покращено до 13/9 Муха. Здається, що 3/2 є найвідомішою верхньою межею для метричної TSP.
Олексій Головнєв

@AlexGolovnev, Привіт Алекс, так, але мій коментар був до того, як з'явиться нова газета;) (Я бачив папір Овеіса Гарана в той час).
Саїд

28

Дайте явну функцію з експоненціальною складністю ланцюга.

Шеннон довів у 1949 році, що якщо вибрати випадкову булеву функцію, вона має експоненціальну складність ланцюга з вірогідністю майже одиницю.

Найкраща нижня межа для явної булевої функції нас досі К. Івама, О. Лачиш, Н Морізумі та Р. Раз.f:{0,1}n{0,1}5no(n)


11
Цей спосіб викладати проблему мене завжди клопоче, тому що ви повинні бути обережними, що ви маєте на увазі під "явним". Неважко записати опис функції, яка має експоненціальну складність ланцюга. Якщо "явний" означає "обчислюється в експоненціальному часі або менше", тоді я погоджуюся, це головна відкрита проблема.
Райан Вільямс

1
Райан, ти маєш рацію. Це надзвичайно важливий момент. Також легко записати опис непридатної функції. У роботі, яку я цитую, нижня межа доводиться для функції, яка може бути сконструйована в детермінований поліном час.
Марк

Чи є хороша експозиція про роботу Шеннона?
Т ....

3
Аргумент докладно в наступних поясненнях лекції: math.tau.ac.il/~zwick/scribe-boolean.html
Marc

Це відмінна проблема і повертає приємні спогади про присвоєння результату Шенона на моєму другому курсі університету.
Stella Biderman

27

Яка складність запиту тестування вільності трикутника у щільних графах (тобто, відмінні графіків, що не містять трикутників, від тих -далі від трикутників)? Відома верхня межа є вежею експонентів в , тоді як відома нижня межа є лише м'яко суперполіномальною в . Це досить основне питання в екстремальній теорії графів / комбінаторії добавок, яке було відкрито майже 30 років.1 / ϵϵ1/ϵ1/ϵ


27

Відокремлено NEXP від ​​BPP. Люди схильні вірити BPP = P, але ніхто не може відокремити NEXP від ​​BPP.


26

Я знаю, що ОП запитувала лише одну проблему на посаду, але конференції RTA (методики перезапису та їх застосування) 1 та TLCA (набрані Lambda Calculi та їх програми) підтримують списки відкритих проблем у своїх областях 2 . Ці списки є досить корисними, оскільки вони також містять вказівки на попередню роботу, зроблену зі спроби вирішення цих проблем.


1
Нема проблем. Хтось знає про якісь подібні списки з інших конференцій? Вони досить цікаві для читання.
Домінік Малліган

26

Дерандомізація проблеми тестування поліноміальної ідентичності

Проблема полягає в наступному: З огляду на арифметичну схему, яка обчислює поліном , чи однаково дорівнює нулю?PP

Цю проблему можна вирішити в рандомізований поліном час, але невідомо, що вона може бути вирішена в детермінований час полінома.

Пов’язана з цим гіпотеза Shub і Smale . З огляду на многочлен , ми визначаємо його -складність як розмір найменшої обчислювальної арифметичної схеми використовуючи єдину постійну . Для одновимірного многочлена , нехай - його кількість реальних коренів.τPττ(P)P1PZ[x]z(P)

Доведіть, що існує універсальна константа така, що для кожного , .P Z [ x ] z ( P ) ( 1 + τ ( P ) ) ccPZ[x]z(P)(1+τ(P))c


25

Чи існує теорема квантової PCP?


Це питання згадувалося в блозі Скотта Ааронсона деякий час тому scottaaronson.com/blog/?p=139, але я не знаю, чи відбувся якийсь прогрес.
Ентоні Левер'є

Я думаю, що цю відповідь потрібно оновити.
Каве

@Kaveh: Що б ти хотів побачити?
Робін Котарі



25

У лямбда-калькуляторах (набраних і нетипізованих) є багато відкритих проблем. Докладніше див. Список відкритих проблем TLCA ; також є приємна версія PDF без кадрів.

Мені особливо подобається проблема №5:

Чи існують терміни, які не можна змінити у але їх можна вводити за допомогою позитивних рекурсивних типів?Fω


3
Дякую Домініку Маллігану за вказівку мене на цей конкретний перелік проблем.
Жак Карет

25

Чи є проблема дискретного логарифму в Р?

Нехай циклічна група порядку і така , що є генератором . Проблема пошуку такою, що відома як проблема дискретного логарифму (DLP). Чи існує (класичний) алгоритм розв’язування DLP у найгіршому поліноміальному часі за кількістю біт ?Gqg,hGgGnNgn=hq

Існують варіанти DLP, які, як вважають, простіші, але досі не вирішені. Обчислювальна завдання Діффі-Хеллмана (ЦРЛ) запрошувати для знаходження дану й . Проблема Діффі-Гелмана (DDH), що приймає рішення, просить вирішити, задаючи , якщо .gabg,gagbg,ga,gb,hGgab=h

Очевидно, що DLP важкий, якщо CDH важкий, а CDH - важкий, якщо DDH важкий, але не відомі зворотні скорочення, за винятком деяких груп. Припущення про складність DDH є ключовим для безпеки деяких криптосистем, таких як ElGamal і Cramer-Shoup .


3
Ну, ми знаємо, що DLP міститься в BQP.
Джо Фіцсімонс

DLP нещодавно був поставлений у квазі-Р для групиG=Fpn×
Марк

24

Паритетні ігри - це графічні ігри з нескінченною тривалістю для двох гравців, чия природна проблема вирішення полягає в NP та co-NP і чия проблема природного пошуку в PPAD та PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/PITY_game

Чи можна вирішити ігри на паритет у поліноміальний час?

(Більш загальним, багаторічним відкритим питанням математичного програмування є те, чи можна вирішити задачі лінійної комплементарності P-матриці в поліноміальний час?)


23

Область параметризованої складності має власне навантаження відкритих проблем.

Розглянемо проблеми вирішення

  • задано чи існує вершинна кришка розміру для графа ?(G,k)kG
  • заданий чи існує задовольняюча присвоєння ваги для формули ?(F,k)kF
  • задано чи існує графіка розміру у графі ?(G,k)kG
  • тощо ...

Багато, МНОГО, комбінаторних проблем існує в такому вигляді. Параметризована складність вважає алгоритм "ефективним", якщо його час роботи верхній межами де - довільна функція, а - константа, незалежна від . У порівнянні зауважте, що всі подібні проблеми можна легко вирішити в .f(k)ncfcknO(k)

Цей фреймворк моделює випадки, коли ми шукаємо невелику комбінаторну структуру, і ми можемо дозволити собі експоненціальний час роботи щодо розміру рішення / свідка .

Проблема з таким алгоритмом (наприклад, покриття вершин) називається фіксованим параметром параметрів (FPT).

Параметризована складність є зрілою теорією і має як міцні теоретичні основи, так і привабливість для практичного застосування. Цільові для такої теорії проблеми вирішення формують дуже добре структуровану ієрархію класів із повною природною задачею:

FPTW[1]W[2]W[i]W[i+1]W[P]

Звичайно, це відкрито, якщо будь-яке подібне включення є суворим чи ні. Зауважте, що якщо то SAT має субекспоненціальний алгоритм (це нетривіально). Останнє твердження пов'язує праметеризовану складність із згаданим вище .E T HFPT=W[1]ETH

Також зауважте, що дослідження таких колапсів не є порожньою вправою: доведення, що еквівалентно, щоб довести, що існує фіксований алгоритм простежуваного параметра для пошуку -cliques.kW[1]=FPTk

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.