Основні невирішені проблеми в теоретичній інформатиці?

У Вікіпедії перелічено лише дві проблеми під "невирішеними проблемами інформатики" :

• P = NP?
• Існування односторонніх функцій

Які ще основні проблеми слід додати до цього списку?

Правила:

1. Лише одна проблема на відповідь
2. Надайте короткий опис та будь-які відповідні посилання

Чи можна множення на матриць зробити в операціях ?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

Експонент найвідомішої верхньої межі навіть має спеціальний символ . В даний час становить приблизно 2.376 за алгоритмом Coppersmith -Winograd . Приємний огляд сучасного рівня - Сара Робінсон, « До оптимального алгоритму множення матриці» , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Оновлення: Ендрю Stothers (в його 2010 дисертації ) показав , що , який був удосконалений Вірджинія Vassilevska Williams (в липні 2014 препринт ) в . Обидва ці межі були отримані ретельним аналізом основної методики Копперсміта-Винограда.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Подальше оновлення (30 січня 2014 р.): Франсуа Ле Ґалл довів, що у статті, опублікованій у ISSAC 2014 (передрук arXiv ).$\omega < 2.3728639$

Чи графний ізоморфізм у P?

Складність графічного ізоморфізму (GI) є відкритим питанням протягом декількох десятиліть. Стівен Кук згадував про це у своїй статті 1971 про NP-повноту SAT .

Визначення того, чи є два графіки ізоморфними, зазвичай можна зробити швидко, наприклад, за допомогою програмного забезпечення, такого як nautyі saucy. З іншого боку, Міядзакі побудував класи примірників, для яких, nautyочевидно, потрібен експоненційний час.

Read and Corneil розглянули багато спроб вирішити складність ШКТ до цього моменту: Захворювання графа Ізоморфізм , Журнал теорії графіків 1 , 339–363, 1977.

GI невідомо, що він знаходиться в ко-NP, але існує простий рандомізований протокол для графіка Неізоморфізм (GNI). Отже, вважається, що GI (= co-GNI) є "близьким" NP co-NP.${}\cap{}$

З іншого боку, якщо GI є NP-повним, то поліноміальна ієрархія руйнується. Таким чином, GI навряд чи буде NP-завершеним. (Боппана, Хестад, Захос, чи має спільний НП короткі інтерактивні докази? IPL 25 , 127–132, 1987)

Шива Кінталі приємно обговорив складність GI у своєму блозі.

Ласло Бабай довів, що Графічний ізоморфізм знаходиться в субекспоненціальному часі .

Складність факторингу

Чи є факторинг в ?$\mathsf{P}$

• Наслідки перебування факторингу в P?
• Чи відомі проблеми ПРАМИ, ФАКТОРИНГИ, які є P-жорсткими?
• Які наслідки того, що факторинг не завершений?
• P з цілочисловим оракулом факторизації
• Докази для цілочислової факторизації є в P (на MO )

P = BPP?

Чи існує поворотне правило для симплексного алгоритму, який дає найгірший час виконання поліномів? Загалом, чи існує сильно поліноміальний алгоритм лінійного програмування?

Експоненціальне час гіпотеза (ETH) стверджує , що рішення SAT вимагає експоненціального, 2 ^{Ω (п)} час. ETH означає багато речей, наприклад, що SAT не знаходиться в P, тому ETH означає P ≠ NP. Дивіться Імпальяццо, Патурі, Зейн, які проблеми мають сильну експоненціальну складність? , JCSS 63, 512–530, 2001.

Поширена думка про ETH, але це, ймовірно, важко довести, оскільки це передбачає багато інших розділень класу складності.

Іммерман і Варді показують, що логіка фіксованої точки фіксує PTIME в класі упорядкованих структур. Однією з найбільших відкритих проблем теорії описової складності є те, чи можна усунути залежність від порядку:

Чи є логіка, яка захоплює PTIME?

Простіше кажучи, логіка захоплення PTIME - це мова програмування для задач графіків, яка працює безпосередньо над структурою графа і не має доступу до кодування вершин і ребер, таким чином, щоб утримуватись:

1. будь-яка синтаксично правильна програма моделює обчислювану графіку поліноміально-часової задачі та
2. будь-яка проблема, що обчислюється графом у багаточлен, може бути змодельована синтаксично правильною програмою.

Якщо немає логіки, яка фіксує PTIME, то оскільки NP захоплюється екзистенціальною логікою другого порядку. Логіка захоплення PTIME забезпечила б можливу атаку P проти NP.$P \neq NP$

Дивіться блог Ліптона для неофіційної дискусії та М. Грохе: Квест логіки, що фіксує PTIME (LICS 2008) для більш технічного опитування.

Чи правдива думка про унікальні ігри ?
І: З огляду на те, що існують алгоритми наближення до субекспоненціального часу для Унікальних Ігор , де проблема в кінцевому підсумку опирається на ландшафт складності?

Постійний проти детермінантний

Постійне проти визначального питання цікаве через два факти. По-перше, константа матриці підраховує кількість досконалих відповідностей у двопартійному графіку. Тому постійною такою матрицею є # P-Complete. У той же час визначення постійного дуже близьке до визначального, в кінцевому рахунку відрізняється лише через просту зміну знака. Детермінантні обчислення добре відомі в P. Вивчення різниці між постійною та детермінантною, а також кількість детермінантних обчислень, необхідних для обчислення постійних, говорять про P проти # P.

Чи можемо ми обчислити FFT за набагато менше, ніж часу?$O(n \log n)$

У тому ж (дуже) загальному сенсі виникає багато питань щодо покращення пробігу багатьох класичних задач або алгоритмів: наприклад, чи можна вирішити всі пари-найкоротші шляхи (APSP) в час?$O(n^{3-\epsilon})$

Редагувати: APSP запускається в часі ", де доповнення та порівняння реалів є одиничною вартістю (але всі інші операції мають типові логарифмічна вартість) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

Динамічна оптимальність гіпотеза для розширення дерев.

Або загалом: чи є конкурентоспроможним будь-яке дерево динамічного бінарного дерева пошуку O (1)?

Лінійний детермінований алгоритм часу для задачі з мінімальним розміщенням дерева .

NP проти ко-NP

Питання NP проти ко-NP цікаво тим, що NP ≠ co-NP означає P ≠ NP (оскільки P закритий доповненням). Це також стосується "подвійності": розділення між знаходженням / перевіркою прикладів та знаходженням / перевіркою контрприкладів. Насправді, доведення того, що питання є і в НП, і в спільному НП, є нашим першим хорошим свідченням того, що проблема, яка, здається, знаходиться поза Р, також, ймовірно, не є повною NP.

Чи є проблеми, які не можуть ефективно вирішити паралельні комп'ютери?

Невідомо, що проблеми, які є P-повними, не можуть бути паралельними. До повних проблем відносяться Horn-SAT та лінійне програмування. Але доведення, що це так, потребує відокремлення поняття паралелізуючих задач (наприклад, NC або LOGCFL) від P.

Конструкції комп'ютерних процесорів збільшують кількість процесорних одиниць, сподіваючись, що це дасть покращену продуктивність. Якщо фундаментальні алгоритми, такі як лінійне програмування, за своєю суттю не є паралельними, то існують значні наслідки.

Чи всі пропозиції тавтології мають докази Фреге поліноміального розміру?

Можливо, головна відкрита проблема складності доказування : продемонструйте нижню межу суперполіномальних розмірів щодо пропозиційних доказів (так званих також доказів Фреге).

Неофіційно система доказування Фреге - це лише стандартна система доказів для доказування пропозиційних тавтологій (навчається в основному логічному курсі), що має аксіоми та правила дедукції, де доказові рядки записуються як формули. Розміром з докази фрегат є кількістю символів , він приймає , щоб записати доказ.

Проблема потім запитує, чи існує сім'я пропозиційних тавтологічних формул, для яких немає полінома таким, щоб мінімальний розмір доказу Фреге був не більше , для всіх (де позначає розмір формули ).$(F_n)_{n=1}^\infty$$p$$F_n$$p(|F_n|)$$n=1,2,\ldots$$|F_n|$$F_n$

Формальне визначення системи перевірки Фреге

Визначення (правило Фреге) Правило Фреге - це послідовність пропозиційних формул , для , записана як . У випадку , правило Фреге називається схемою аксіом . Формула як кажуть, виведена правилом з якщо це всі екземпляри заміщення , для деякого присвоєння змінним (тобто є формули $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$$\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$$k = 0$$F_0$$F_1,\ldots,F_k$$F_0,\ldots,F_k$$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ такі, що для всіх . Кажуть, що правило Фреге звучить, якщо кожен раз, коли призначення задовольняє формулам у верхній частині , то воно також задовольняє формулі в нижній частині .$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$$i=0,\ldots,k$$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

Визначення (доказ Frege) Враховуючи набір правил Frege, доказ Frege - це послідовність формул, така що кожна доказова лінія є або аксіомою, або була отримана одним із заданих правил Frege з попередніх ліній перевірки. Якщо послідовність закінчується формулою , то доказ , як кажуть, є доказом . Розміром з докази фрегат є загальним розміром всіх формул в доказі.$A$$A$

Доказ система називається implicationally повним , якщо для всіх набору формул , якщо семантично означає , тобто доказ з допомогою (можливо) аксіоми з . Кажуть, що система доказування є здоровою, якщо вона допускає докази лише тавтологій (коли не використовуються допоміжні аксіоми, як у вище).$T$$T$$F$$F$$T$$T$

Визначення (система захисту від Frege) З огляду на мову пропозиції та обмежений набір звукових правил Frege, ми говоримо, що є системою доказування Фреге, якщо імпліцитно завершена.$P$$P$$P$

Зауважте, що доказ Frege завжди звучить, оскільки правила Фреге вважаються звуковими. Нам не потрібно працювати з конкретною системою доказування Фреге, оскільки основний результат складності доказів говорить про те, що кожна дві системи доказів Frege, навіть на різних мовах, є поліноміально еквівалентними [Reckhow, кандидатська дисертація, Університет Торонто, 1976].

Встановлення нижчих меж доказів Фреге можна розглядати як крок до доказу , оскільки якщо це правда, то жодна пропозиційна система доказів (включаючи Фреге) не може мати доказів поліноміального розміру для всіх тавтологій.$NP \neq coNP$

Чи можемо ми обчислити відстань редагування між двома рядками довжиною за підквадратичний час, тобто за час для деякого ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Чи існують справді алгоритми підквадратичного часу (мається на увазі час для деякої постійної ) для 3SUM-жорстких проблем ?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

У 2014 році Грінлунд та Петті описали детермінований алгоритм для самого 3SUM, який працює в часі . Хоча це головний результат, поліпшення порівняно з є лише (під) логарифмічним. Більше того, для більшості інших проблем із 3SUM не відомо жодних подібних підквадратичних алгоритмів.Про ( п 2$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Також: NP, що міститься в BQP?

Я знаю, що це порушило правила, маючи у відповіді два запитання, але якщо їх взяти з питанням P проти NP, вони не обов'язково є незалежними питаннями.

1. Концепція ізоморфізму. (Чи всі проблеми, завершені NP, є "тією ж" проблемою?)
2. Чи може криптовалюта базуватися на повній NP-проблемі?

і трохи далі від мейнстріму:


3. Який розмір NP в межах EXP?

(Неофіційно, якщо у вас є всі проблеми в EXP на столі, і ви збираєте одну рівномірно випадково, яка ймовірність того, що обрана вами проблема також є в НП? Це питання було оформлено поняттям обмеженого ресурсом міри . Відомо, що P має показник нуля в межах EXP, тобто проблема, яку ви зібрали зі таблиці, майже напевно не в P.)

Яка приблизність метричної TSP ? Алгоритм Христофідеса 1975 року є алгоритмом апроксимації поліноміального часу (3/2). Чи NP-важко зробити краще?

• Наближення метричної TSP до коефіцієнта менше 220/219 є NP-жорстким (Papadimitriou and Vempala, 2006 [PS] ). Наскільки мені відомо, це найвідоміша нижня межа.

• Існують певні докази того, що фактична межа може бути 4/3 (Carr and Vempala, 2004 [Безкоштовна версія] [Гарна версія] ).

• Верхня межа приблизності була нещодавно знижена до (Mucha 2011 "13/9 -приближення для графічного TSP" [ PDF ])$13/9$

Дайте явну функцію з експоненціальною складністю ланцюга.

Шеннон довів у 1949 році, що якщо вибрати випадкову булеву функцію, вона має експоненціальну складність ланцюга з вірогідністю майже одиницю.

Найкраща нижня межа для явної булевої функції нас досі К. Івама, О. Лачиш, Н Морізумі та Р. Раз.$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

Яка складність запиту тестування вільності трикутника у щільних графах (тобто, відмінні графіків, що не містять трикутників, від тих -далі від трикутників)? Відома верхня межа є вежею експонентів в , тоді як відома нижня межа є лише м'яко суперполіномальною в . Це досить основне питання в екстремальній теорії графів / комбінаторії добавок, яке було відкрито майже 30 років.1 /$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Відокремлено NEXP від ​​BPP. Люди схильні вірити BPP = P, але ніхто не може відокремити NEXP від ​​BPP.

Я знаю, що ОП запитувала лише одну проблему на посаду, але конференції RTA (методики перезапису та їх застосування) 1 та TLCA (набрані Lambda Calculi та їх програми) підтримують списки відкритих проблем у своїх областях 2 . Ці списки є досить корисними, оскільки вони також містять вказівки на попередню роботу, зроблену зі спроби вирішення цих проблем.

Дерандомізація проблеми тестування поліноміальної ідентичності

Проблема полягає в наступному: З огляду на арифметичну схему, яка обчислює поліном , чи однаково дорівнює нулю?$P$$P$

Цю проблему можна вирішити в рандомізований поліном час, але невідомо, що вона може бути вирішена в детермінований час полінома.

Пов’язана з цим гіпотеза Shub і Smale . З огляду на многочлен , ми визначаємо його -складність як розмір найменшої обчислювальної арифметичної схеми використовуючи єдину постійну . Для одновимірного многочлена , нехай - його кількість реальних коренів.$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

Доведіть, що існує універсальна константа така, що для кожного , .P ∈ Z [ x ] z ( P ) ≤ ( 1 + τ ( P ) ) $c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Чи існує теорема квантової PCP?

У лямбда-калькуляторах (набраних і нетипізованих) є багато відкритих проблем. Докладніше див. Список відкритих проблем TLCA ; також є приємна версія PDF без кадрів.

Мені особливо подобається проблема №5:

Чи існують терміни, які не можна змінити у але їх можна вводити за допомогою позитивних рекурсивних типів?$F_ω$

Чи є проблема дискретного логарифму в Р?

Нехай циклічна група порядку і така , що є генератором . Проблема пошуку такою, що відома як проблема дискретного логарифму (DLP). Чи існує (класичний) алгоритм розв’язування DLP у найгіршому поліноміальному часі за кількістю біт ?$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

Існують варіанти DLP, які, як вважають, простіші, але досі не вирішені. Обчислювальна завдання Діффі-Хеллмана (ЦРЛ) запрошувати для знаходження дану й . Проблема Діффі-Гелмана (DDH), що приймає рішення, просить вирішити, задаючи , якщо .$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Очевидно, що DLP важкий, якщо CDH важкий, а CDH - важкий, якщо DDH важкий, але не відомі зворотні скорочення, за винятком деяких груп. Припущення про складність DDH є ключовим для безпеки деяких криптосистем, таких як ElGamal і Cramer-Shoup .

Паритетні ігри - це графічні ігри з нескінченною тривалістю для двох гравців, чия природна проблема вирішення полягає в NP та co-NP і чия проблема природного пошуку в PPAD та PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/PITY_game

Чи можна вирішити ігри на паритет у поліноміальний час?

(Більш загальним, багаторічним відкритим питанням математичного програмування є те, чи можна вирішити задачі лінійної комплементарності P-матриці в поліноміальний час?)

Область параметризованої складності має власне навантаження відкритих проблем.

Розглянемо проблеми вирішення

• задано чи існує вершинна кришка розміру для графа ?$(G,k)$$k$$G$
• заданий чи існує задовольняюча присвоєння ваги для формули ?$(F,k)$$k$$F$
• задано чи існує графіка розміру у графі ?$(G,k)$$k$$G$
• тощо ...

Багато, МНОГО, комбінаторних проблем існує в такому вигляді. Параметризована складність вважає алгоритм "ефективним", якщо його час роботи верхній межами де - довільна функція, а - константа, незалежна від . У порівнянні зауважте, що всі подібні проблеми можна легко вирішити в .$f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

Цей фреймворк моделює випадки, коли ми шукаємо невелику комбінаторну структуру, і ми можемо дозволити собі експоненціальний час роботи щодо розміру рішення / свідка .

Проблема з таким алгоритмом (наприклад, покриття вершин) називається фіксованим параметром параметрів (FPT).

Параметризована складність є зрілою теорією і має як міцні теоретичні основи, так і привабливість для практичного застосування. Цільові для такої теорії проблеми вирішення формують дуже добре структуровану ієрархію класів із повною природною задачею:

Звичайно, це відкрито, якщо будь-яке подібне включення є суворим чи ні. Зауважте, що якщо то SAT має субекспоненціальний алгоритм (це нетривіально). Останнє твердження пов'язує праметеризовану складність із згаданим вище .E T $FPT=W[1]$$ETH$

Також зауважте, що дослідження таких колапсів не є порожньою вправою: доведення, що еквівалентно, щоб довести, що існує фіксований алгоритм простежуваного параметра для пошуку -cliques.$W[1]=FPT$$k$