З якою швидкістю ми можемо обчислити набір для включення набору сімейства наборів?

З огляду на набір сімейство $\mathcal{F}$ підмножин універсуму $U$ . Нехай $S_1,S_2 \in \mathcal F$ і ми хочемо відповісти $S_1 \subseteq S_2$ .

Я шукаю структуру даних, яка дозволить мені швидко відповісти на це. Моє додаток складається з теорії графів, де я хочу побачити, чи видалення вершини та її сусідства залишає окремі вершини, і для кожного списку вершин залишаються всі відокремлені вершини.

Я хочу створити повний набір або зрештою $|\mathcal{F}|^2$ таблиця, де зберігаються справжні помилкові дані, які саме набори є підмножиною одного.

Нехай $m = \sum_{S\in \mathcal{F}} |S|$ , $u = |U|$ і $n = |\mathcal{F}|$ , припустимо $u,n \leq m$

Ми можемо генерувати матрицю стримування $n \times u$ (двопартійний графік) за $O(un)$ час, а потім можемо створити таблицю всіх $n^2$ порівнянь за час $O(nm)$ за кожним набором $S \in \mathcal{F}$ , провести цикл через усі елементи всіх інших наборів і позначити його , як не є підмножиною $S$ , якщо вони елемент не знаходиться в $S$ . Всього $O(nm)$ часу.

Чи можемо ми зробити що-небудь швидше? Зокрема, чи можливий час $O((n+u)^2)$ чи ні?

Я знайшов кілька пов’язаних статей:

Простий підквадратичний алгоритм для обчислення часткового порядку підмножини (1995), який дає алгоритм $O(m^2 / log(m))$ .

Частковий порядок підмножини: обчислювальна техніка та комбінаторика дещо покращує вищесказане, але також стверджує, що вищезазначений документ вирішує проблему за час $O(md)$ коли $d$ - максимальна кількість наборів, що використовують спільний елемент, але я не міг зрозуміти цей результат.

У статті між та $O(nm)$ $O(n^{\alpha})$ автори показують, як у графіку знайти з'єднані компоненти після видалення замкнутого сусідства вершини за допомогою матричного множення. Це можна використовувати для обчислення множини набору включення, знайшовши всі компоненти, які є одинаковими з режимом виконання . $O((n+u)^{2.79})$

Також ця дискусія на форумі пов'язана: Який найшвидший спосіб перевірити наявність включення? з якої випливає нижня межа . $O(n^{2-\epsilon})$

graph-algorithms ds.data-structures partial-order

— Мартін Ватшелле
джерело

Лише пропозиція: чи можете ви спростити питання, встановивши

? Або обидва параметри важливі у вашій програмі?

u = n

$u=n$

— Колін МакКійлан

У моєму додатку у мене є

, де

означає асимптотично менше.

u << n << 2^{u}

$u << n << 2^u$

<<

$<<$

— Мартін Ватшелль

Якщо випадковість знаходиться в межах, однією грубою ідеєю було б створити купу функцій "випадкової монотонної сигнатури" та використовувати їх для наближення відношення до підмножини (фільтри a la Bloom). На жаль, я не знаю, як перетворити це на практичний алгоритм, але ось кілька оцінок, які не одразу виявляють ідею неможливою. Це дуже далеко не корисне рішення, але я випишу його на випадок, якщо це допоможе.

Припустимо для простоти, що всі набори майже однакового розміру, скажімо , і що . Можна припустити , , в іншому випадку ми зробили. Визначте $|S| = s \pm O(1)$ $s = o(u)$ $1 \ll s$ Зауважимо, що.

\begin{aligned} q & = [s / 2] \\ p & = [\frac{(\binom{u}{q})}{(\binom{s}{q})}] \end{aligned}

$\begin{aligned} q &= [s/2] \\ p &= \left[\frac{u \choose q}{s \choose q}\right] \end{aligned}$

p ≫ 1

$p \gg 1$

Ось дико непрактична частина. Випадково виберіть підмножини із заміною, кожен розміром , і визначте функцію на iff для деяких . З фіксованими та змінюються випадковим чином, маємо $p$ $A_1, \ldots, A_p \subset U$ $q$ $f : 2^U \to \{0,1\}$ $f(S) = 1$ $A_i \subset S$ $i$ $S$ $A_i,f$ Оскількиє монотонним,означає. Якщо, фіксуємо деяке. Ймовірність того, щовиявляєє

\begin{aligned} Pr (f (S) = 0) & = Pr (\forall i . A_{i} ⊄ S) \\ = Pr (A_{1} ⊄ S)^{p} \\ = {(1 - (\binom{s}{q}) / (\binom{u}{q}))}^{p} \\ = e^{- Θ (1)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0) &= \Pr(\forall i. A_i \not\subset S) \\ &= \Pr(A_1 \not\subset S)^p \\ &= \left(1 - {s \choose q}/{u \choose q}\right)^p \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$

f (S)

$f(S)$

S \subset T

$S \subset T$

f (S) \leq f (T)

$f(S) \le f(T)$

T ⊄ S

$T \not\subset S$

t \in T - S

$t \in T-S$

f

$f$

T ⊄ S

$T \not\subset S$

Деякі з цих кроків є досить тонкими, але я сьогодні не встигаю їх покращити. У будь-якому випадку, якщо вони всі дотримуються, то принаймні невідомо неможливо випадкове генерування функцій підпису, які мають розумну ймовірність відрізнити підмножини від непідрядних. Тоді логарифмічне число таких функцій дозволило б правильно розрізнити всі пари. Якщо функція генерування підпису

і обчислення

може бути зменшено до

час, результат був би загальний

\begin{aligned} Pr (f (S) = 0 < 1 = f (T)) & = Pr (f (S) = 0) Pr (f (T) = 1 | f (S) = 0) \\ = e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . A_{i} \subset T, A_{i} \cap T - S \neq 0 | f (S) = 0) \\ = e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . t \in A_{i} \subset T | f (S) = 0) \\ \leq e^{- Θ (1)} Pr (\exists i . t \in A_{i} \subset T) \\ \approx e^{- Θ (1)} p Pr (t \in A_{1} \subset T) \\ \leq e^{- Θ (1)} p (\binom{s}{q - 1}) / (\binom{u}{q}) \\ \approx e^{- Θ (1)} p \frac{q}{s - q} (\binom{s}{q}) / (\binom{u}{q}) \\ = e^{- Θ (1)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0 < 1 = f(T)) &= \Pr(f(S) = 0) \Pr(f(T) = 1 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. A_i \subset T, A_i \cap T-S \ne 0 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T | f(S) = 0) \\ &\le e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T) \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \Pr(t \in A_1 \subset T) \\ &\le e^{-\Theta(1)} p {s \choose q-1} / {u \choose q} \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \frac{q}{s-q} {s \choose q} / {u \choose q} \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$

f

$f$

f (S)

$f(S)$

\tilde{O} (n + u)

$\tilde{O}(n+u)$

\tilde{O} (n^{2} + u^{2})

$\tilde{O}(n^2+u^2)$

Навіть якщо наведені вище розрахунки є правильними, я не знаю, як швидко генерувати монотонні функції підпису з потрібними функціями. Цілком ймовірно, що ця методика не поширюється на суттєво різні розміри набору.

— Джеффрі Ірвінг
джерело