Проблема екзаменатора (рівномірне створення примірників / відповідей рішення SAT)

11

Асистент викладання курсу зумів написати програму, яка (детерміновано) породжує складні екзаменаційні запитання. Тепер вона хотіла б написати програму, яка генерує відповіді. Проблема екзаменатора запитує, чи завжди це можливо; в ГІПОТЕЗА екзаменатора стверджує , що, якщо припустити, , це НЕ : придумують проблеми легше , ніж придумувати свої рішення. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Більш формально, нехай є детермінованою машиною Тьюрінга, яка на вході створює в поліном час булеву формулу розміру . Мені хотілося б знати, чи існує для всіх таких детермінована поліномальна машина Тьюрінга яка на вході видає " ", якщо має задовольняюче призначення і " " в іншому випадку . $M$ $1^n$ $n$ $M$ $M'$ $1^n$ $1$ $M(1^n)$ $0$

Припускаючи, що , це питання вже було задано чи відповіли? Якщо не відповісти, які види додаткових припущень ( наприклад, односторонні функції?) Можуть мати результат? Якщо заперечувати щось із вищезазначеного, моя «думка» полягає в тому, що ТМ «відповідь» існує не завжди, але яка ваша інтуїція? $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Дякую!

cc.complexity-theory uniformity

— усул
джерело

Дозвольте переконатись у правильності кількісних показників. Ви запитуєте, чи "для всіх

існує

, такий що

може ефективно вирішити вихід

"?

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M

$M$

— Тайсон Вільямс

@TysonWilliams: Так, я трохи відредагував формулювання, щоб спробувати зробити це зрозумілим. Я вважаю, що ваше твердження має бути рівнозначним моєму!

— usul

1

Як Емануеле зазначає, що це, мабуть, не те, що ви справді шукаєте, ви, мабуть, хочете створити пари екземплярів-рішень, де вирішення екземпляра "важке". Можливо, пов'язане з тим, що ви шукаєте: 1. Відповідь Девіда тут і 2. розділ 6 Стівена А. Кука та Девіда Г. Мітчелла, « Пошук важких причин проблеми задоволення: опитування », 1997

— Каве

12

Питання, яке ви задаєте, еквівалентне одинарному NP = одинарному Р, що, в свою чергу, за допомогою прокладки еквівалентно NE = E.

З назви, можливо, ви мали на меті запитати, чи можна генерувати вхідні / вихідні пари таким чином, що розподіл на входах "важкий". Можливість зробити це лежить десь між P NP і існують односторонні функції. $\ne$

У обмежених обчислювальних моделях відомо, що це можливо. Наприклад, можна генерувати вхідні / вихідні пари для парності або більшості функцій в AC або нижче. Див . Складність розподілів . $^0$

— Ману
джерело

1

Чи можете ви пояснити, чому це рівнозначно? ... Під "рівномірною" я маю на увазі "єдину модель обчислення" - якби ми задавали питання для схем, відповідь була б тривіально " так" : кожен

буде жорстко кодувати або одиницю, або нуль, залежно від того,

задовольняється чи ні.

M_{n}^{'}

$M'_n$

M_{n}

$M_n$

— usul

4

Кожна

дає назву в NP:

. Так що якщо унарний-NP одно одномісній-Р, то

є машина , яка вирішує

. В іншому напрямку візьміть будь-яку загальну мову в NP і візьміть

як машину, яка зводить її до SAT. Якщо

існує, то умовна мова також є в P, тому унарний P = унарний NP. Для другої еквівалентності можна перевірити Hartmanis et al. (але один напрямок дуже простий) dl.acm.org/citation.cfm?id=808769

M

$M$

L_{M} = {1^{n} : M (1^{n}) is satisfiable.}

$L_M =\{1^n: M(1^n) \text{ is satisfiable.}\}$

M^{'}

$M'$

L_{M}

$L_M$

M

$M$

M^{'}

$M'$

— Сашо Ніколов

4

Питання: Нехай генерує формули. Чи належить до ? $M\in \mathsf{PF}$ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ Так:

Припущення про генерування формул за полиномним часом з означає, що формулу можна коротко дати. Ви хочете вирішити їх задоволеність вчасно . $1^n$ $n^{O(1)}$

$\varphi = M(1^n)$ $n$ $|\varphi|$ $\varphi$ $\lg n+O(1)$ $M$ $n$ $succintSAT$ $\mathsf{E}$ $2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

Так $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

$M \in \mathsf{PF}$ $C$ $M$ $C$ $\bot$

$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$ $succinctSAT$

$SAT$

Ми повинні уточнити, що ми маємо на увазі під тим, що екземпляр важкий, оскільки будь-який екземпляр сам по собі є (теоретично) простим, оскільки його можна вирішити або алгоритмом, який завжди говорить так, або алгоритмом, який завжди говорить ні. Мені здається, ви намагалися обійти це питання, наклавши рівномірність. Розмірковуючи криптографічно, без відомостей, які не розкриваються противнику, немає сенсу приховувати решту обчислень, оскільки противник може імітувати протокол.

$n$ $n$

$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$ $w_k$
$D$
$A$

Або більш формально,

$A\in \mathsf{PF}$ $D \in \mathsf{P/poly}$ $SAT(A(k)_1) = A(k)_2$ $k$
${P r}_{k \in {0, 1}^{n}} {D (A (k)_{1}) = S A T (A (K)_{1})} < \frac{1}{p o l y (n)}$ $\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$

$k$ $\varphi_k$ $A(k)_2$

$f$ $f(x)=y$ $f$ $y$ $\varphi_{f,y}(x)$ $x$ $\varphi_{f,y}(x)$ $SAT$ $f$ $f$

Дивіться також глави 29 та 30 книги Яна Крайчека "Примушування до випадкових змінних" 2011 р. Про генератори доказів складності .

— Каве
джерело

M^{'}

$M'$

Проблема екзаменатора (рівномірне створення примірників / відповідей рішення SAT)

Питання: Нехай генерує формули. Чи належить { M ( 1 n ) ∣ n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S A T } до P ?M∈PFM∈PFM\in \mathsf{PF}{M(1n)∣n∈N∧M(1n)∈SAT}{M(1n)∣n∈N∧M(1n)∈SAT}\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}PP\mathsf{P}

SATSATSAT

Питання: Нехай генерує формули. Чи належить до ? $M\in \mathsf{PF}$ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$

$SAT$