Наслідки наближення детермінанта

Відомо, що можна точно обчислити детермінант матриці $n\times n$ у детермінативному просторі. Які б були наслідки складності наближення детермінанта реальної матриці, норми не більше ( ) у рандомізованому логарифмічному просторі, скажімо, точність? $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

У цьому відношенні, що було б "правильним" наближенням запитувати - мультиплікативне чи добавне? (див. одну з відповідей нижче).

determinant cc.complexity-theory

— Ліор Ельдар
джерело

Вони повинні бути на реальній оперативній пам’яті?

$\:$

Я не впевнений, що я правильно розумію питання, але якщо ви посилаєтесь на точність арифметики, то я вважаю, що кожне дійсне число зберігається в журналах (n) біт.

— Ліор Ельдар

З ризиком не зрозуміти деталі питання належним чином: Для здатності наблизити детермінант до будь-якого фактора потрібно мати можливість вирішити, квадратна матриця є сингулярною чи ні, що має мати певні наслідки.

З одного боку, він дає рандомізований тест на те, чи має загальний графік ідеальну відповідність (через матрицю Тутта та Шварца-Ціппеля). Я не думаю, що останній відомий у рандомізованому просторі журналів (наприклад, Зоопарк Складності перераховує двосторонній ідеальний збіг як важкий для NL).

— Magnus Wahlström
джерело

Дякую Магнусу, хоча я насправді думав про помилку адитивного наближення, і в цьому випадку від вас не буде потрібно розказувати, чи є матриця сингулярною чи ні. Мультипликативне наближення також може зацікавити, тому зараз я не впевнений, що найкраще визначення.

— Ліор Ельдар

@LiorEldar, безумовно, навіть з помилкою адитивного наближення, якщо записи в матриці є цілими числами, а прив'язка помилки добавки становить менше 0,5, у вас є бездоганний тест на особливість?

— Пітер Тейлор

Привіт Пітер Тейлор, я думаю, що щоб говорити, скажімо, на 0,5 точності, вам спочатку потрібно якось вказати найбільшу норму оператора, яку ви підтримуєте. Так, наприклад, якщо ваш вхід

має

, то ваша похибка детермінантної добавки може бути

. Отже, навіть якщо ваш вхід дається вам як усічені цілі числа, кожне з

біт, то максимальна норма, для якої потрібно наблизити визначник, буде

у вигляді цілих чисел, тобто

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$ похибка наближення набагато менша, ніж

щодо

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Ліор Ельдар

Я думаю, що проблема з помилкою добавки щодо норми полягає в тому, що вона насправді не гарно масштабується. Скажіть, у мене був алгоритм, який давав помилку наближення

щодо

. Нехай

блокова діагональна матриця, утворена з використанням

копій

як блоків. Тоді

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ , але

, тому a

адитивна помилка для шкал

до помилки добавки

для

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— Кевін Костелло