Складність задачі про інтервальне покриття

Розглянемо наступну задачу $Q$ : Нам задано ціле число та k інтервалі [ l i , r i ] з 1 ≤ l i ≤ r i ≤ 2 n . Нам також дано 2 n цілих чисел d 1 , … , d 2 n ≥ 0 . Завдання полягає у виборі мінімальної кількості інтервалів [ l i , r i$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$таким, що для кожного , вибираються принаймні d i інтервали, що містять ціле число i .$i=1,…,2n$$d_i$$i$

Не важко зрозуміти, що можна розв’язати за полиномним часом (див. Нижче).$Q$

Тепер розглянемо наступну дещо змінену задачу $Q’$ : Вхід проблеми такий же, як і раніше. Однак тепер завдання полягає у виборі мінімальної кількості інтервалів, таких, що для кожного інтервалу , принаймні d 2 i - 1, що містить ціле число 2 i - 1 або принаймні d 2 i інтервали, що містять ціле число 2 я обраний (під "або" ми маємо на увазі звичайний логічний або).$i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

Моє запитання: Чи можна розв’язати в поліноміальний час?$Q’$

Ось два способи ефективно вирішити :$Q$

Простий жадібний алгоритм: прокрутіть інтервали зліва направо і виберіть лише стільки інтервалів, скільки потрібно, щоб "задовольнити" числа . Щоразу, коли є вибір між різними інтервалами, вибирайте один (и) з максимальною правильною кінцевою точкою.$d_i$

Ціла програма: Для кожного інтервалу введіть змінну рішення x i ∈ { 0 , 1 } з x i = 1, якщо буде обраний інтервал. Мета - мінімізувати x 1 + … + x k , за умови обмежень ∑ j : i ∈ [ l j , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$. Матриця обмежень цієї цілочисельної програми має послідовні властивості one, і тому лінійна релаксація програмування цієї програми має ціле оптимальне рішення.

Дякуємо за будь-які підказки, а також за довідки!

Кожен екземпляр Q може бути перетворений на екземпляр задачі з декількома множинними множинами, де місцями є інтервали , що охоплюють послідовну послідовність точок запиту (= цілі числа d i ).$[l_i,r_i]$$d_i$