η-перетворення проти розширення в розширення лямбда-числення

Мене часто бентежить зв’язок між η-конверсією та експансіональністю.

Редагувати: Відповідно до коментарів, схоже, я також заплутався у зв'язку між еквівалентною еквівалентністю та спостережливістю. Але принаймні в Агді з рівністю розширення функцій (як постулату) і для просто набраного лямбдального числення (яке має абсолютно абстрактну семантику, якщо я не помиляюсь) денотаційна еквівалентність є такою ж, як і спостережлива еквівалентність. Не соромтеся виправляти мене в коментарях чи відповідях; Я ніколи не отримував систематичної освіти з цих питань.

У нетиповому обчисленні лямбда-клаусу правило-правило дає ту саму систему доказів, що і правило експансіоналізму, як це було доведено Барендрегтом (цитується у відповіді на це запитання ). Я розумію, що це означає, що система доказування з ета-правилом є повною для спостережливої ​​еквівалентності (з інших відповідей, що може знадобитися правило ξ-правила, тобто скорочення під біндери IIUC; у мене немає проблем із додаванням цього правила) .

Однак, що станеться, якщо ми перейдемо на введене числення та додамо розширити це обчислення з додатковими базовими типами та відповідними формами введення та усунення? Чи можемо ми все-таки написати повну систему підтвердження еквівалентності спостережень? Я розповім про системи доказів у формі аксіоматичної семантики, слідуючи Основам Мітчелла Мови програмування (FPL); система доказування / аксіоматична семантика визначає еквівалентність програми.

Питання 1 : чи поширюється теорема Барендрегта на STLC? Чи еквівалентність η еквівалентна екстенсіональності в цьому контексті?

Я переглядають обговорення Fpl по PCF (але не закінчив розділ ще), і, здається , що після додавання пари, об'ємність потрібне додаткове правило, а саме сюрьективно спаровування: pair (Proj1 P, Proj2 P) = P. Цікаво, що це правило пов'язує введення та усунення пар точно так, як правило η стосується введення та усунення функцій.

Запитання 2 : Чи достатньо додати аксіому сюр'єктивного сполучення, щоб довести розширеність у просто набраному λ-числі з парами? редагувати : Питання 2b : чи поєднання сюжетів з η-законом, як η-закони, згадані в цій роботі , через структурну схожість, яку я згадую?

Давайте пройдемо всю дорогу до PCF. Описи рівності розширень, які я бачив, тоді доводять, що екстенсіоналізм передбачає правило доказування шляхом індукції, але вони не кажуть, чи достатньо це. Оскільки PCF є повним Тьюрінгом, рівність розширення не можна визначити . Але це не означає, що не існує повної системи доказів, оскільки довжина доказів необмежена. Більш актуально, така система доказів, можливо, суперечить теоремам про незавершеність Геделя. І цей аргумент може бути застосований навіть до PCF без fix, а також до системи T Gödel.

Питання 3 : Чи існує повна система доказів еквівалентності спостережень у PCF? Що з PCF без fix?

Оновлення: повна абстракція

Я відповідаю тут на коментар про повну абстракцію. Я думаю, що PCF страждає від двох різного роду проблем: він має припинення (через виправлення), що спричиняє втрату повної абстракції, але він також має натуральну кількість. Обидві проблеми ускладнення спостереження важко піддаються лікуванню, але я вірю незалежно один від одного.

З одного боку, PCF втрачає повну абстракцію через те, що паралельно або живе в смисловій області (Plotkin 1977), і це, мабуть, пов'язане з невинищенням. Ральф Навантажувач (2000 р., "Фінітальний PCF не підлягає вирішенню") показує, що остаточний PCF (без природних речовин, але з невикористанням) вже не визначений; отже, (якщо я підсумую правильно), абсолютно абстрактний семантичний не може обмежуватися доменами з обчислювальними операціями.

З іншого боку, візьміть систему T Gödel, яка не має винищення. (Я не впевнений, що вона має абсолютно абстрактну семантику, але я гадаю, що так, оскільки проблема згадується лише для PCF; домен повинен містити примітивні рекурсивні функції вищого порядку). Практичні основи Харпера з мов програмування обговорюють спостережливість еквівалентності цієї мови; Розд. 47.4 має назву "Деякі закони рівності" і містить деякі допустимі доказові правила спостережливості. Ніде не сказано, чи система доказування повна, тому я гадаю, що це не так, але також ніде не обговорюється, чи можна її добудувати. Моя найкраща здогадка посилається на теорему про незавершеність Геделя.

Я не впевнений, що зможу повністю відповісти на ваше запитання, але я спробую його поставити і задати кілька моїх власних питань, які можуть викликати деяку подальшу дискусію з цього приводу.

Перший мій погляд такий: два терміни в нетипізованому λ -розрахунку, як видно, є рівним iff для кожного терміна M : M t  закінчується  ⇔ M t '  закінчується,  де закінчується означає "має β -нормальну форму"$t, t'$ $\lambda$$M$

$$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$$ $\beta$

Я вважаю більш природним вважати терміни з "дірками" або контекстами замість просто термінів M і писати E [ t ] замість M t . Два погляди, безумовно, є рівнозначними (якщо змінні не пов'язані контекстом), оскільки абстракція дозволяє перетворити контекст E [ _ ] у термін λ x . Е [ х ] .$E[\_]$$M$$E[t]$$M\ t$$E[\_]$$\lambda x.E[x]$

Тепер це факт , що наглядове рівність в безтипових обчисленні не враховуються при -equality! Дійсно, існує цілий клас термінів, які обидва не закінчуються і не мають нормальної форми голови, і тому всі видимо рівні. Їх іноді називають вічними термінами або нерозв'язними термінами , і ось два такі терміни: ( λ x . X x ) ( λ x . X x ) і ( λ x . X x x ) ( λ x $\beta\eta$

$$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$$ Показати, що ці терміни не є β η- рівними, досить легко. $$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$$ $\beta\eta$

Якщо всі вічні терміни визначені, то рівність спостережень повністю фіксується класичним результатом (див. Теорему Барендрегта 16.2.7).

---

Тепер для набраних кальку. Розглянемо спочатку просто набраний -рахунок без натуральних чисел. Вищенаведене визначення спостережувальної рівності стає тривіальним, оскільки нормалізується кожен термін! Нам потрібно тонше розрізнення. Ми будемо використовувати величину рівності t 1 ↓ t 2 для замкнутих доданків, визначених індукцією на типи t 1 і t 2 . Спочатку додамо для кожного типу A нескінченну кількість констант c A , c ′ A , c ″ A , … . Виберемо деяку константу c $\lambda$$t_1\downarrow t_2$$t_1$$t_2$$A$$c_A, c_A', c''_A,\ldots$$c_x$відповідного типу, щоб відповідати кожній змінній .$x$

1. На базовій типу , т 1 ↓ т 2 тоді і тільки тоді β -керівник нормальною формою т 1 є з U 1 ... U п і що з т 2 є д v 1 ... v п і з = д , і у 1 ↓ v 1 , … , U n ↓ v n за їх відповідними типами.$B$$t_1\downarrow t_2$$\beta$$t_1$$c\ u_1\ldots u_n$$t_2$$d\ v_1\ldots v_n$$c=d$$u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$

2. При стрілочному типі якщо обидва умови β -зводиться до абстракції λ .$t_1\downarrow t_2$$\beta$$\lambda$

Зауважте, що в цьому визначенні я використовую лише -конверсію.$\beta$

Тепер я визначаю контексти як: з контекстом голови, застосуванням, абстрагуванням та заміщенням (за закритими термінами) відповідно.

$$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$$

Тоді ми можемо визначити і t ' , добре введені типу T, щоб бути спостережно еквівалентними тоді і лише тоді, коли для кожного контексту E [ _ ] такий, що E [ t ] , E [ t ' ] добре набрані та закриті . E [ t ] ↓ E [ t ′ ] в цьому випадку напишемо t = o b s t $t$$t'$$T$$E[\_]$$E[t],E[t']$

$$E[t]\downarrow E[t']$$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$

Тепер легко помітити, що якщо то t = o b s t ′ . Інший напрямок менш тривіальний, але також має місце: дійсно, якщо t = o b s t ′ , то ми можемо показати, що доданки рівні для β η за індукцією на тип:$t=_{\beta\eta}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$t=_{\mathrm{obs}}t'$$\beta\eta$

1. Для базового типу просто візьміть як [ _ ] θ , а θ - заміна, яка посилає x на c x . Маємо E [ t ] = t θ і E [ t ′ ] = t ′ θ . Маємо t θ → β c x u 1 θ … u n θ і t ′ θ $E[\_]$$[\_]\theta$$\theta$$x$$c_x$$E[t]=t\theta$$E[t']=t'\theta$$t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$ . Тоді маємо c x = c x ′ і так x = x ′ . Тепер ми не можемо відразу зробити висновок, що u i θ = β η v i θ . Дійсно, якщо u i і v i є λ -абстракціями, то тривіально u i θ ↓ v i θ ! Хитрість тут - надіслати$t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$$c_x=c_{x'}$$x=x'$$u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$$u_i$$v_i$$\lambda$$u_i\theta\downarrow v_i\theta$$x$до і повторити це стільки разів, скільки потрібно. Я трохи нечіткий щодо деталей тут, але ідея схожа на теорему Бьома ( Барендрегт знову 10.4.2).

   $$\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$$

2. Для типу стрілки візьміть як [ _ ] c y , тобто додаток до c y з c y і y не в t або t ' . За гіпотезою індукції маємо: t c y = β η t ′ c y і так t y = β η t ′ y, що дає λ y . t y = $E[\_]$$[\_]\ c_y$$c_y$$c_y$$y$$t$$t'$

   $$t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$$ $$t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$$ і, нарешті,η-рівність: t = β η t $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$$\eta$ $$t\ =_{\beta\eta}\ t'$$

Це було важче, ніж очікувалося!

---

Добре розглянемо систему T. Додамо тип до суміші, конструктори 0 і S та рекурсор r e c T для кожного типу T , з " β -правилами" r e c T u v 0 → β u r e c T u v ( S n ) → β v n ( r e c T u v n $\mathbb{N}$$0$$S$$\mathrm{rec_T}$$T$$\beta$

$$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$$ $$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$$

$\eta$

$$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$$ $m$

$$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$$ $x$$\eta$$h$

${\cal M}$$t_{\cal M}$$T$$t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$$n$ $S$$1$${\cal M}$$n$$0$

${\cal M}$

$$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$$ $\beta\eta$${\cal M}$ $$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$$ $T$$t_{\cal M}=\lambda x.0$