Чи може бути надзвичайно велика прихована підмножина поліноміально розв’язуваних задач в рамках задач NP-Complete?

Припустимо, P! = NP.

Ми знаємо, що ми можемо зробити прості екземпляри 3-SAT в будь-який час. Ми також можемо створити те, що ми вважаємо важкими прикладами (адже наші алгоритми не можуть їх швидко вирішити). Чи є щось, що заважає набору жорстких екземплярів бути довільно малим, доки для будь-якого заданого розміру екземпляра (n) є лише Poly (n) (або навіть постійні) екземпляри розміру Poly (n) або менших?

Для будь-якого жорсткого 3-SAT-екземпляра нам доведеться додати набір усіх 3-SAT-екземплярів, до яких він зводиться, шляхом циклічного циклу через цикл зменшення NP-повноти, але я не передбачаю цього додавання до кількості важких примірників дуже багато .

У цьому світі ми могли б побудувати алгоритм, який поліноміально вирішує всі повні задачі НП, крім виняткових кількох.

Редагувати: Більш м'який варіант питання: навіть якщо ми показали P! = NP, як ми могли знати, чи даний метод для генерування розміру n 3-SAT проблем насправді генерував важкий з певною необхідною ймовірністю? Якщо від P! = NP немає можливості дізнатися тільки, що потрібно, щоб показати, що ми можемо створити важку проблему, повну NP?

1) Залежно від того, що саме малося на увазі, висновок у спостереженні Каве можна підсилити від до , по суті, використовуючи теорему Мені. Тобто, якщо є алгоритм, який вирішує SAT і працює за часом на всіх екземплярах довжини за винятком можливо таких таких випадків, де і є двома поліномами, то насправді . Див., Наприклад, Мейєр і Патерсон і посилання на них, або монографія Шонінга "Складність і структура"$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\leq p(n)$$n$$q(n)$$p$$q$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. Отже, якщо це захоплює ваше поняття "важкі екземпляри", то для кожного повинно бути більше ніж безлічі екземплярів , припускаючи .$poly(n)$$n$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

FYI, такі алгоритми іноді називають "apt" або "APT" алгоритмами, "майже поліноміальний час" (не плутати з більш сучасним класом складності , що відбувається з рівним ).$\mathsf{almostP}$$\mathsf{BPP}$

2) Викладене вище можна ще більше зміцнити. Припустимо . Тоді вище сказано, що для будь-якого алгоритму, що розв'язує SAT, і будь-якого многочлена , існує безліч екземплярів надполіноміального розміру, на які алгоритм займає більше, ніж часу. Але набір може залежати від алгоритму.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$p$$p(n)$

Більш сильний результат перемикає квантори і робить висновок: існує надполіномічний набір розміру H (для "жорсткого"), який для будь-якого алгоритму A, що вирішує SAT, і будь-якого полінома p, A займає більше, ніж часу на всіх, але кінцево багато елементів H. Такий Н називається ядром складності (припущення розміру не є частиною визначення ядра складності). Визначення та існування сердечників складності дало Лінч . Щойно я процитував результат, доведений Orponen та Schoning .$p(n)$

Ніхто не згадав відомого паперу "П'ять світів" Імпальяццо.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

ще один кут у цьому питанні (поза посиланням на теорему Махані). "точка переходу" в SAT - це дослідження цього явища розподілу легкого проти жорсткого екземпляра навколо "критичної точки", де максимальна ймовірність жорстких випадків. література з цього питання довга і складна. вона має як емпіричний, так і аналітичний підходи. вона має глибокі зв'язки з фізикою / термодинамікою. [3] на жаль, наразі немає записів у Вікіпедії на цю дуже важливу і фундаментальну тему теорії складності. також, схоже, не існує багато загальних або «стандартних» опитувань з цього приводу. ось один останній перелік, який можна розпочати на фазових переходах SAT [1] та TCS взагалі. [4] ваше запитання також належить до категорії "дійсно хороша відповідь, в основному, буде майже P$\stackrel{?}{=}$Доказ NP ".

Чи є щось, що заважає набору жорстких екземплярів бути довільно малим, доки для будь-якого заданого розміру екземпляра (n) є лише Poly (n) (або навіть постійні) екземпляри розміру Poly (n) або менших?

знову теорема Махані (висловлена ​​дещо по-іншому) відповідає на це безпосередньо. Інший спосіб дивитися на це полягає в тому, що спроби звузити розподіл примірників якимось ключовим / характерним способом призводять до завершення функцій NP. прикладом цього з монотонної складності схеми є "функції зрізу". [2]

[1] Прогнозування задоволеності під час фазового переходу Лін Сю, Холгер Х. Хоос, Кевін Лейтон-Браун

[2] Пол Е. С. Данн: Складність функцій центрального зрізу. Теорія. Обчислення. Наук. 44: 247-257 (1986)

[3] Аналітичне та алгоритмічне рішення випадкових задач задоволеності М. Мезард, Г. Паризі, Р. Зеччина

[4] Фазові переходи в проблемах, повних NP-програм: виклик ймовірності, комбінаторики та інформатики Мура