Складність експоненціальної функції

Ми знаємо, що експоненціальна функція над натуральними числами не обчислюється в поліноміальний час, оскільки розмір виводу не поліноміально обмежений розміром входів. $\exp(x,y) = x^y$

Чи це головна причина труднощів у обчисленні експоненціальної функції, чи експоненцію по суті важко обчислити, незалежно від цього розгляду?

Яка складність бітового графіка експоненціальної функції?
${⟨ x, y, i ⟩ ∣ x, y, i \in N and the i -th bit of x^{y} is 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— Петро
джерело

Я змінив поняття "EXP" на "L", оскільки EXP - назва відомого класу складності, і може призвести до плутанини.

— MS Dousti

Якщо обмежено потужністю 2, то - . Також графік експоненціації має низьку складність.

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Каве

Sadeq: Якщо ви хочете уникнути класів складності, L нічим не краще, ніж EXP ... Змінив його на X.

— Петро,

@Peter: У контексті L, швидше за все, це "мова", а не клас складності Log-space. У будь-якому випадку, X - набагато кращий вибір.

— MS Dousti

@Kaveh: У питанні йдеться про те, що йдеться про експоненціальну функцію на натуральні числа.

— Цуйосі Іто

Відповіді:

Ось кілька верхніх меж.

При повторному квадраті проблема полягає в PSPACE.

Є трохи краща верхня межа. Проблема є особливим випадком проблеми BitSLP: З огляду на пряму програму, що починається з 0 і 1 з додаванням, відніманням і множенням, що представляє ціле число N , і задано i ∈ℕ, вирішують, чи є i -й біт (рахуючи з Найменше значущий біт) двійкового представлення N дорівнює 1. Проблема BitSLP полягає в ієрархії підрахунку ( CH ) [ABKM09]. (В [ABKM09] зазначено, що можна показати, що проблема BitSLP знаходиться в PH ^{PP ^{PP ^{PP ^{PP PP}}}} .)

Приналежність до СН часто розглядається як доказ того, що проблема навряд чи буде важкою для PSPACE, оскільки рівність CH = PSPACE означає, що ієрархія підрахунку руйнується. Однак я не знаю, наскільки міцними вважаються ці докази.

Що стосується твердості, то показано, що BitSLP є # P-жорстким у тому самому папері [ABKM09]. Однак, мабуть, доказ не передбачає жодної твердості мови X у питанні.

Список літератури

[ABKM09] Ерік Аллендер, Пітер Бюргіссер, Йохан Келлдгаард-Педерсен та Пітер Бро Мільтерсен. Про складність чисельного аналізу. Журнал обчислювальної техніки SIAM , 38 (5): 1987–2006, січень 2009 р. Http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Цуосі Іто
джерело

Не повна відповідь, а принаймні часткова.

Зауважую, що дві відповіді, що з'явилися до цього часу, не згадали про те, що існує алгоритм для обчислення модульного експоненціалу де - кількість біт в , а де - показник, відповідний алгоритму найшвидшого множення. Отже, менш значущі біти експоненціалу можна обчислити ефективно (в або менше). $O(n^{1+\omega})$ $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

Спосіб зробити це досить просто: Ви можете обчислити , , . Очевидно , і так , але оскільки існують лише доданків це займе лише $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ множення.

Далі ми можемо записати як , тому найбільш значущі біти, які відповідають приблизно також можна ефективно обчислити, оскільки вони залежатимуть лише від найбільш значущого біта з . $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

Тож єдині реальні проблемні умови викликаються бітами до центру . $x^y$

— Джо Фіцсімонс
джерело

Існує цікавий зв’язок між цією відповіддю та моєю. Якщо я не помиляюся, приблизний огляд алгоритму, наведеного у моїй відповіді [ABKM09 ], полягає в поєднанні цієї ідеї з китайською теоремою залишків, щоб отримати більш високі біти.

— Tsuyoshi Ito

Ах, я цього не зрозумів.

— Джо Фіцсімонс

[Ця відповідь пояснює деякі цікаві аспекти, що стосуються відповіді Пер Вогнсена . Це не є прямою відповіддю на питання ОП, проте може допомогти у вирішенні таких питань.]

$i$ $\pi$ $i-1$

$i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— М. С. Дусті
джерело