знаходження найменших k елементів масиву в O (k)

Це цікаве питання, яке я знайшов в Інтернеті. Враховуючи масив, що містить n чисел (без інформації про них), ми повинні попередньо обробити масив за лінійним часом, щоб ми могли повернути k найменших елементів за час O (k), коли нам дано число 1 <= k <= n

Я обговорював цю проблему з деякими друзями, але ніхто не міг знайти рішення; будь-яка допомога буде вдячна!

швидкі зауваження: -порядок k найменших елементів не важливий -елементи в масиві є числом, можуть бути цілими числами, а можуть бути і не (таким чином, не радіо-сортування) - число k не відомо на етапі попередньої обробки. попередня обробка - O (n) час. функція (знайти k найменших елементів) на час O (k).

Попередньо обробити масив значень за час :O ( n $n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• а$i>2$
  • Обчислити медіану з під часA [ 1 .. i ] O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • розділ на та одночасно.A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ $A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

Загальний час попереднього обчислення знаходиться в межах$O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

Відповідь на запит для найменших елементів в в часі :A O ( k $k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• виберіть -й елемент з в часіx A [ 2 л . .2 l + 1 ] O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• розділ на в той же час$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

$A[1..k]$ містить найменших елементів.$k$

Список літератури:

• У 1999 році Дор і Цвік дали алгоритм для обчислення медіани елементів у часі протягом , що дає алгоритм для вибору го елемента з невпорядкованих елементів у менш ніж порівнянь.2.942 n + o ( n ) k n 6 $n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

Припустимо для простоти, що . Використовуйте алгоритм лінійного вибору часу для пошуку елементів у позиціях ; це займає лінійний час. Дано , знайдіть таким, що ; зауважимо, що . Відфільтруйте всі елементи рангу щонайбільше , а тепер використовуйте алгоритм лінійного вибору часу, щоб знайти елемент у положенні в часі .$n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$$k$$O(2^t) = O(k)$

Пояснення: Може здатися, що попередня обробка потребує часу , і це дійсно так, якщо ви не обережні. Ось як зробити попередню обробку в лінійний час:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

Перегородка на місці виконується, як у швидкості. Час виконання лінійно в і так лінійно. Зрештою, масив задовольняє наступним властивістю: для кожного , складається з найменших елементів.$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

Спочатку використовуйте для побудови міні-купи. Відомо, що ми можемо використовувати для пошуку найменших елементів у хв-купі:$O(n)$$O(k)$$k$

Фредеріксон, Грег Н. , Оптимальний алгоритм відбору в хвіст , Інф. Обчислення. 104, № 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

Використовуйте лінійний підбір часу, щоб знайти й найбільший елемент, а потім зробіть крок розділу з quicksort, використовуючи й найбільший елемент як опорний.$k$$k$