Комбінаторний варіант для поліноми гіршевської гіпотези

Розглянемо непересічних сімейств підмножин {1,2, ..., п}, .F 1 , F 2 , … F $t$${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

Припустимо, що

(*)

Для кожного і кожен і , є , який містить .R ∈ F i T ∈ F k S ∈ F j R ∩ $i \lt j \lt k$$R \in {\cal F}_i$$T \in {\cal F}_k$$S \in {\cal F}_j$$R \cap T$

Основне питання:

Наскільки великі не можуть бути ???

Що відомо

Найвідомішою верхньою межею є квазіполіном .$t \le n^{\log n+1}$

Найвідоміша нижня межа є (до логарифмічного коефіцієнта) квадратичною.

Ця абстрактна установка взята з паперу " Діаметр багатогранників: межі абстракції" Фрідріха Айзенбранда, Ніколая Ганле, Саші Разборова та Томаса Ротвосса . Квадратичну нижню межу, а також доказ верхньої межі можна знайти в їх роботі.

Мотивація

Кожна верхня межа застосовуватиметься до діаметра графіків двовимірних багатогранників з n гранями. Щоб побачити цей асоційований до кожної вершини множині граней, що містять його. Тоді, починаючи з вершини нехай - множини, відповідні вершинам багатогранника відстані від .S v w F r r + 1 $v$$S_v$$w$${\cal F}_r$$r+1$$w$

Більше

Ця проблема є предметом полімату3 . Але я подумав, що може бути корисним представити його тут і в МО, незважаючи на те, що це відкрита проблема. Якщо проект призведе до конкретних підпроблем, я (або інші) можуть спробувати задати їх також.

(Оновлення; 5 жовтня :) Однією конкретною проблемою, яка представляє особливий інтерес, є обмеження уваги до наборів розміром d. Нехай f (d, n) - максимальне значення t, коли всі множини в усіх сім'ях мають розмір d. Нехай f * (d, n) - максимальне значення t, коли ми допускаємо мультисети розміром d. Розуміння f * (3, n) може мати вирішальне значення.

Проблема: чи поводиться f * (3, n) як 3n або як 4n?

Відомі нижня та верхня межі - 3n-2 та 4n-1 відповідно. і оскільки 3 є початком послідовності 'd', тоді як 4 - це початок послідовності визначаючи, чи правда є 3 або 4, матиме важливе значення. Дивіться другу нитку .$2^{d-1}$

Мій друг і я вирішили спробувати метод грубої сили і обчислити деякі значення для малих значень n і d . Це абсолютно неможливо без використання обрізки, і ми сподіваємось, що знайдені нами трюки дадуть деяке розуміння решті проблеми. Поки нам не вдалося значно зменшити подвійно-експоненціальний час роботи методу грубої сили (приблизно 3 2 n - це наш найкращий зв'язаний на даний момент), і, отже, ми ще не досягли своєї первісної мети якось передбачити функцію позаду $t$$n$$d$$3^{2^n}$$f$від перших кількох її значень. Ми також детально не вивчили всі коментарі попередніх тем, тому деякі з них, можливо, вже були відомі - ми в основному веселилися швидко робити наш код і хотіли десь опублікувати наші результати, якби у мене працювало середовище LaTeX, я б мав покладіть це на ArXiV.

Код (це не зовсім виробничий код ...): http://pastebin.com/bSetW8JS . Значення:

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

Будемо говорити , що послідовність є опуклий , якщо (*) має місце. Наш підхід конструкції опуклі послідовності, приєднуючи сім'ї коротких послідовностей опуклих, по суті , з використанням , що якщо F 1 , . . . , Р т опукла, то Р 1 , . . . , F t - 1 опукла. Зауважимо , що F 1 , . . . , F${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$опукло тоді і тільки тоді , коли для всіх ∈ F т маємо F 1 , . . . , F t - 1 , { A } опукла. Ми говоримо , що є сумісним з F 1 , . . . , F т - 1 , якщо F 1 , . . . , F t - 1 , { A }$A \in {\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$опукло - ми економимо час обчислень шляхом обчислення безлічі, які сумісні з послідовністю , а потім приймати елементи їх Powerset як новий , а не визначення , якщо F 1 , . . . , F t - опукла безпосередньо.${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

Наступне наше прискорення - це, по суті, динамічне програмування. Спробуємо знайти відношення еквівалентності на опуклих послідовностях із наступними двома властивостями. По- перше, якщо F 1 , . . . , F т ~ F ' 1 , . . . , F ' т в протягом двох опуклих послідовностей, то сумісний з F 1 , . . . , F т тоді і тільки тоді , коли він сумісний з F ' 1 , . . $\sim$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ . По- друге, якщо F 1 , . . . , F т ~ F ' 1 , . . . , F ' т і F 1 , . . . , Р т , Р т + 1 є опуклою, то Р 1 , . . . , F t , F t + 1 ∼ F ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$. Крім того, ми хотіли, якщо ми можемо визначитичи набір сумісний з елементами з класу еквівалентності, і визначитипредставник класу еквівалентностіF1,. . . ,Рт,Рт+1даноРт+1і представник класу еквівалентностіF1,. . . ,F${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$${\cal F}_{t+1}$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$. Тоді очевидний алгоритм динамічного програмування очевидний. Кількість класів еквівалентності (разом із часом, проведеним вищезазначеними двома операціями) потім дає обмеження на час виконання очевидного алгоритму динамічного програмування.

Для еквівалентності, яку ми використовуємо для зв'язання, ми використовуємо характеристику опуклості, яка базується на `інтервалах 'наступним чином. З огляду на підмножина з { 1 , ... , п } , ми говоримо є суміжним по відношенню до (не обов'язково опуклою) послідовності F 1 , . . . , F t, якщо { k ∣ ∃ B ∈ F k : A ⊆ B } = { i , … , j$A$$\{ 1, \dots, n \}$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ для деяких цілих чисел 1 ≤ i ≤ j ≤ n . Ми говоримо, що ( i , j ) - інтервал для A wrt цієї послідовності. Легко бачитищо F 1 , . . . , F t є опуклим тоді і тільки тоді, коли всі підмножини { 1 , … , n } є суміжними щодо послідовності.$\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$$1 \leq i \leq j \leq n$$(i, j)$$A$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$

Тепер, з огляду на послідовність опуклу , ми відзначаємо всі підмножини { 1 , ... , п } , як не чіпали , заборонені або активний наступним чином : всі елементи F т активні, все елементи F 1 , . . . , F t - 1 заборонені, і всі суперсети B множин A , інтервал по відношенню до F${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$$\{ 1, \dots, n \}$${\cal F}_t$${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$B$$A$ є ( i , j ) при j < t - 1 також заборонено. Негайно набір A сумісний із послідовністю, якщо та лише тоді, коли він позначений як не торкався. Ми визначаємо дві послідовності як еквівалентні під ∼, якщо їх маркування дорівнює. Неважко помітити, що це відношення еквівалентності задовольняє наші дві властивості. Для обчислення того, числід заборонятимножину B умовою інтервалу, ми можемо використовувати еквівалентну умову 'існує множина C ∈ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$$(i, j)$$j < t - 1$$A$$\sim$$B$ такий, що для без набору D ∈ F t + 1 , B ∩ C ⊆ D '. 3 2 n - це безпосереднє обмеження на кількість класів еквівалентності.$C \in {\cal F}_t$$D \in {\cal F}_{t+1}$$B \cap C \subseteq D$$3^{2^n}$

Також ми використовуємо різні додаткові обрізки. Ми розглядаємо лише античінки для і вимагаємо, щоб елементи його елементів походили з 1 , … , i . Нарешті, ми використовуємо оптимізацію, що F 1 = { { 1 } } , F 2 = { { 1 , 2 } } для оптимально довгих послідовностей (і аналогічно для F t - 1 і F t ). Ми уявляємо, що досліджуємо поведінку F${\cal F}_{t+1}$${1, \dots, i}$${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$${\cal F}_{t-1}$${\cal F}_t$${\cal F}_3$ це може призвести до більш значних заощаджень.