Передові методики визначення складності нижчих меж

Деякі з вас, можливо, стежили за цим питанням , яке було закрито через відсутність рівня досліджень. Отже, я витягую частину питання, що знаходиться на дослідницькому рівні.

Поза "простішими" методами, такими як зменшення до сортування або завдання, повне EXPTIME, які методи були використані для доведення нижчих меж для часової складності проблеми?

Зокрема:

• Які "передові" методики були розроблені в останнє десятиліття?
• Чи можна застосовувати методи з абстрактної алгебри, теорії категорій чи інших галузей типово "чистої" математики? (Наприклад, я часто чую згадку про "алгебраїчну структуру" сортування, не маючи реального пояснення, що це означає.)
• Які значущі, але маловідомі результати для нижньої межі складності?

Нижні межі алгебраїчних схем

У налаштуваннях алгебраїчних схем, де нижня межа розміру ланцюга аналогічна нижній межі за часом, відомо багато результатів, але в сучасних результатах є лише кілька основних методів. Я знаю, що ви просили менших часових меж, але я думаю, що у багатьох випадках сподіваються, що нижня межа алгебраїки одного дня призведе до нижчих меж булевих / тюрінгських машин. Ці результати часто використовують більш глибокі прийоми з "чистої математики", як ви сказали.

I. Зв'язаний ступінь.

Штрассен показав, що журнал ступеня певного алгебраїчного різноманіття, пов'язаного з функцією (набором), є нижньою межею на розмір алгебраїчної схеми обчислення цих функцій.

II. З'єднані компоненти (або, загалом, розмірність будь-якої вищої групи гомології).

Бен-Ор показав, що розмір реального алгебраїчного дерева рішень, що визначає приналежність до (напівалгебраїчного) набору, становить щонайменше де C - кількість з'єднаних компонентів цього набору. Бен-Ор використав це для доведення нижньої межі Ω ( n log n ) на сортування (ну, виразність елементів, але відмінність елементів зводиться до сортування) у реальній алгебраїчній моделі рішень. Яо розширив це з підключених компонентів до суми чисел Бетті і виявив оптимальні нижчі межі для інших проблем (наприклад, k -рівни)). В іншому документі Яо розширив це на алгебраїчні дерева рішень над цілими числами.$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

ІІІ. Часткові похідні.

Це було робочим конем багатьох нижніх меж сучасного алгебраїчного кола. Я вважаю, що часткові похідні вперше були використані для доведення нижньої межі Бауром-Страссеном, де вони показали, що обчислення всіх перших частин може бути виконано розміром 5 s, де s - розмір, необхідний для обчислення f . У поєднанні з обмеженою ступенем Страссена це дало нижню межу розміру Ω ( n log n ) на різних функціях, які все ще є найсильнішими нижніми межами на розмір необмежених арифметичних схем для явної функції.$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

Більш недавнє використання часткових похідних, здається, випливає з статті Нісана, в якій він виявив менші межі для некомутативних схем, враховуючи розмірність простору всіх часткових похідних. Це було використано для доведення нижчих меж на обмежених типах схем глибини-3 Нісаном-Вігдерсоном, і подібні ідеї використовувались для доведення нижчих меж на багатолінійний розмір формули від Raz (та пов'язаних з ним моделей від Raz і співпрацівників). Дуже недавні межі глибини 4 та 3 на глибині 3 Гупта, Каял, Камат і Сапфаріші використовують узагальнення цієї ідеї, щоб підрахувати розмірність простору "зміщених часткових похідних" - де можна взяти часткові похідні, а потім помножити на будь-які одночлени заданого ступеня. ) може бути "просто" питанням кращого розуміння ідеалу, породженого неповнолітніми перманентальними (див. Припущення в кінці статті).$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

IV. Визначення рівнянь для різновидів.

Ідея тут полягає в тому, щоб пов’язати з "легкими функціями" певну алгебраїчну різноманітність, знайти рівняння, які зникають на цій різноманітності, і показати, що ці рівняння не зникають на вашій "важкій функції". (Отже, доводить, що ваша важка функція не в різноманітних простих функціях, так що насправді важко.) Особливо корисно в нижніх межах при множенні матриці. Дивіться Landsberg - Ottaviani в arXiv за останніми відомостями та посиланнями на попередні нижчі межі.

(Насправді, I, II і III вище можна розглядати як особливі випадки пошуку визначальних рівнянь для певних різновидів, хоча докази, що використовують I, II, III, по суті ніколи не формулюються таким чином, оскільки насправді не було потребую.)

V. Теорія представництва, особливо як в теорії геометричної складності.

Власне, також використовується Ландсбергом - Оттавіані, щоб знайти деякі рівняння для певної різноманітності. Бургіссер-Ікенмейєр також використовується для отримання «чисто» теоретичного доказування дещо слабшої нижньої межі множення матриці. Зауважений Малмулі та Сохоні (пор. "Теорія геометричної складності I і II"), щоб бути корисним для вирішення vs V N P і в кінцевому підсумку N P проти P / p o l y .$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

У своїй відповіді Каве м'яко запропонував мені щось сказати. У мене немає нічого іншого, щоб внести свій внесок у цей добре вичерпний список відповідей. Я можу додати кілька загальних слів про те, як розвивалися нижчі межі "структурної складності" протягом останніх десяти років. (Я використовую назву "структурна складність" просто для того, щоб відрізнити алгебраїчну, складну комунікацію тощо)

Нинішні підходи все ще багато в чому базуються на діагоналізації, зокрема, наступній базовій парадигмі: Почніть з прийняття протилежної нижньої межі. Це дає хороший алгоритм вирішення якоїсь проблеми. Спробуйте скористатися цим алгоритмом, щоб суперечити деякій теоремі ієрархії, заснованої на діагоналізації, наприклад, ієрархії часу або ієрархії простору. Оскільки лише аргументів діагоналізації недостатньо для доведення нових нижчих меж, до суміші додаються інші інгредієнти, щоб отримати суперечливий рецепт.

Я мушу сказати, що багато аргументів 70-х та 80-х років також можна сказати, що вони відповідають наведеній схемі; Основна відмінність сьогодні - це "інші інгредієнти" - на вибір є багато інгредієнтів, а способи застосування інгредієнтів, здається, обмежені лише вашою власною творчістю. Іноді, коли ти не знаєш, як змішати конкретні інгредієнти, щоб отримати кращий рецепт, але ти добре розумієш, як вони можуть змішуватися, це допомагає зашифрувати комп'ютерну програму, яка пропонує нові рецепти для тебе.

Було б дуже цікаво отримати нові докази останніх нижчих меж, які остаточно не відповідають цій парадигмі. Наприклад, чи можна довести без будь-якого посилання на аргумент діагоналізації? Для початку, чи можна це довести, не посилаючись на недетерміновану теорему ієрархії часу? (Чи можна використовувати, наприклад, "ієрархію розмірів ланцюга", наприклад?)$NEXP \not\subset ACC$

Методи залежать від моделі та типу ресурсу, на який ми хочемо отримати нижню межу. Зауважимо, що для підтвердження нижньої межі складності задачі ми повинні спочатку зафіксувати математичну модель обчислення: нижня межа для задачі полягає в тому, що жоден алгоритм, що використовує деяку кількість ресурсів, не може вирішити проблему, тобто ми оцінюємо універсально над алгоритмами. Нам потрібно мати математичне визначення області кількісного визначення. (Це, як правило, стосується неможливості результатів.) Отже, результати нижньої межі стосуються лише конкретної моделі обчислення. Наприклад,$\Omega(n \log n)$Нижня межа сортування працює лише для алгоритмів сортування на основі порівняння, без цього обмеження, і в більш загальних моделях обчислень можливо вирішити сортування швидше, навіть лінійного часу. (Дивіться коментар Джоша нижче.)

Ось кілька основних прямих методів доведення нижчих меж теорії складності обчислювальної техніки для більш загальних моделей обчислень (машини Тюрінга та схеми).

I. Підрахунок:

Ідея: Ми показуємо, що існує більше функцій, які алгоритми.

Наприклад: Є функції, які вимагають експоненціально великих схем.

Проблема цього методу полягає в тому, що він є екзистенційним аргументом і не дає явної функції або будь-якої верхньої межі щодо складності проблеми, яка виявилася важкою.

II. Комбінаторна / алгебраїчна:

Ідея: ми аналізуємо схеми і показуємо, що вони мають певну властивість, наприклад, обчислені ними функції можуть бути наближені деяким приємним класом математичного об'єкта, тоді як цільова функція не має цієї властивості.

Наприклад: лемма комутації Хестада та його варіанти використовують дерево рішень для наближення , Разборов-Смоленський використовує поліноми над полями для наближення функцій тощо. A C 0 [ p $\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

Проблема цього методу полягає в тому, що на практиці він працював лише для невеликих та відносно легких для аналізу занять. Існує також бар'єр « Природні докази» Розборова-Рудича, який певним чином формалізує, чому прості властивості самі по собі навряд чи будуть достатніми для доведення більш загальних нижніх схем.

У роботі Розборова " Про метод наближення " стверджується, що метод апроксимації є повним для доведення нижчих меж у певному сенсі.

ІІІ. Діагоналізація:

Ідея. Ми діагоналізуємо проти функцій меншого класу. Ідея сходить до Геделя (і навіть Кантора).

Вих. Теореми ієрархії часу , теорема космічної ієрархії і т.д.

Основна проблема цього методу полягає в тому, що для отримання верхньої межі нам потрібно мати універсальний тренажер для меншого класу, і важко знайти хороші нетривіальні тренажери. Наприклад, для відокремлення від нам потрібен тренажер для всередині і є результати, що показують, що якщо є такі симулятори, вони не збираються будь вихованим. Тому ми зазвичай закінчуємо розділення класів з однотипними ресурсами, де, використовуючи трохи більше ресурсів, ми можемо універсально моделювати менший клас.P S p a c e P P S p a c $\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

У нас також є бар'єр релятивізації (повернення до Бейкера, Гілла та Соловай) та бар'єр алгебраїзації (за Ааронсоном та Вігдерсоном), який стверджує, що конкретні типи аргументів діагоналізації перенесуться до інших параметрів, де результат виявляється помилковим.

Зауважте, що ці бар'єри не застосовуються до більш загальних аргументів діагоналізації. Насправді, у статті Декстера Козена " Індексація субрекурсивних класів " діагоналізація в завершена для доведення нижчих меж.

Як ви, напевно, помічали, існує міцний зв’язок між пошуком хороших універсальних тренажерів для класу складності та відокремленням цього класу складності від великих класів (про офіційне твердження див. У статті Козена).

Останні твори

Щоб дізнатися про останні досягнення, перегляньте останні документи Райана Вільямса . Я не обговорюю їх у цій відповіді, оскільки сподіваюся, що сам Райан напише відповідь.

Алгебраїчні дерева рішень

Це не нещодавній метод, а досить потужний для певних проблем.

$n$$d$

• $v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• $-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$запит поліномів; цей час побудови вільний для нижньої межі моделі.

Ура за подвійно-негативні результати!

У Manindra Agrawal є приємний документ "Доведення нижчих меж за допомогою генераторів Psuedorandom". Це може вважатися "темним конем", що працює, щоб довести нижчі межі, але документ цікавий.

це опитування 32p, яке щойно з’явилося на тему, зосередившись на куті нижньої межі схеми (тут сильне збігання вмісту з іншими відповідями тут).

• Алгоритми та ланцюги нижчих меж Олівейра

Для доведення декількох теорем переносу було використано різні методики "нетривіальних алгоритмів для нижчих меж схеми виходу схеми класу С проти C". У цьому опитуванні ми переглядаємо багато цих результатів. Ми обговорюємо, як нижчі межі схеми можна отримати за допомогою алгоритмів дерандомізації, стиснення, навчання та задоволеності. Ми також висвітлюємо зв'язок між нижніми межами ланцюга та корисними властивостями, поняття, яке виявляється принциповим у контексті цих теорем перенесення. Попутно ми отримуємо кілька нових результатів, спрощуємо кілька доказів та показуємо з'єднання, що включають різні рамки. Ми сподіваємось, що наша презентація послужить самостійним вступом для тих, хто зацікавлений у проведенні досліджень у цій галузі.