Проста проблема вирішення, проблема жорсткого пошуку

Вирішити, чи існує рівновага Неша, легко (це завжди); однак, насправді, знайти, як вважається, важко (це є ППАД).

Які ще є приклади проблем, коли версія рішення проста, але пошукова версія порівняно складна (порівняно з версією рішення)?

Мене особливо зацікавлять проблеми, коли версія рішення не є тривальною (на відміну від випадку з рівновагою Неша).

Враховуючи ціле число, чи має він нетривіальний коефіцієнт? -> Нетривіально в П.

З огляду на ціле число, знайдіть нетривіальний коефіцієнт, якщо такий є -> Невідомо, що він є у FP.

Ось ще один приклад: Даючи кубічний графік G та гамільтоновий цикл H у G, знайдіть інший гамільтоновий цикл у Г. Такий цикл існує (за теоремою Сміта), але, наскільки я знаю, відкритим є те, чи може він бути обчислюється за полиномним часом.

Якщо ви даєте наступний той самий "вільний простір", який ви робите для рівноваги Неша, то:

• Цілісна факторизація, де завданням рішення є "Чи існує факторизоване представлення цього цілого числа?" (тривіально, так), а проблема пошуку полягає у виведенні її

Ряд проблем з ґратами, можливо, може відповідати тут однотипному щедрому визначенню для вирішення проблеми рішення:

• Найкоротша векторна проблема (SVP) - вирішіть, чи існує найкоротший вектор проти його пошуку
• Найближча векторна проблема (CVP) - вирішіть, чи є найближчий вектор проти пошуку

Звичайно, це все випадки, коли версія рішення, яку я згадав, не дуже цікава (адже це тривіально). Одна проблема, яка не настільки тривіальна :

• Плоский графік -кольорова здатність для k ≥ $k$$k \ge 4$

Проблема рішення планарного графіка 4-забарвлення полягає в П. Але одержання лексикографічно першим таким рішенням є НП-важкий ( Хуллер / Вазірані ).

Зауважте, що властивість, яка вас справді цікавить, - це самозаниженість (точніше, не-самовідновлення). У проблемі забарвлення плоского графа суттєвим питанням є те, що метод самовідновлення загального випадку -кольорості знищить площинність у графі.$k$

Нехай , випадковий граф на 1 , ... , п , в якому кожне ребро присутній незалежно з імовірністю 1 / 2 . Виберіть п 1 / 3 вершини з G рівномірно випадковим чином і додати всі ребра між ними; називати отриманий граф H . Тоді Н має кліку розміру п 1 / 3 .$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

Проблема пошуку: знайти кліку розміром не менше .$10\log n$

Ще один приклад; Subset-сума рівність: З огляду на 1 , 2 , 3 , . . . , натуральних числа з Й п 1 я < 2 п - 1 . Принцип сукна гарантує існування двох підмножин I , J в 1 , 2 , . . . , n такий, що ∑ i ∈ I a i$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$$\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$$I, J$${1,2,..., n}$ (оскільки більше підмножин, ніж можливих сум). Існування алгоритму поліноміального часу для знаходження множин I і J є відомою відкритою проблемою.$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$$I$$J$

Рівність підмножини підсумків (версія голуба)

Ще один приклад теорії чисел, подібний до наведеного вище. Постулат Бертранда відомий , що для кожного додатного цілого числа є просте значення між n і 2 n . Але в даний час у нас немає алгоритму поліноміального часу, щоб знайти такий розкрій, враховуючи n . (Потрібний алгоритм повинен виконуватись у полілогічному ( n ) часі.) Можна легко придумати рандомизовані алгоритми поліноміального часу через теорему про просте число , і їх можна дерандомізовувати, приймаючи деякі теоретичні гіпотези стандартних чисел (наприклад , гіпотеза Креймера)$n$$n$$2n$$n$$n$), але невідомо безумовно алгоритм детермінованого полінома часу. Пов'язані роботи нещодавно проводилися в проекті Polymath4 ; Повідомлення про блог Дао про проект - це хороший підсумок його.

Загрожуючи трохи зафіксувати тему, дозвольте навести простий і природний приклад відповіді теорії С : Ейлерові цикли та розподілені алгоритми.

Проблема рішення не є абсолютно тривіальною, в тому сенсі, що існують як ейлерові, так і неейлерові графіки.

Однак є швидкий і простий розподілений алгоритм, який вирішує проблему рішення (в тому сенсі, що для так-екземплярів всі вузли виводять "1", а для не-примірників принаймні один вузол виводить "0"): кожен вузол просто перевіряє паритет власного ступеня і відповідно виводить 0 або 1.

Але якщо ви хочете знайти ейлеровий цикл (в тому сенсі, що кожен вузол виводить структуру циклу у власному сусідстві), тоді нам потрібна по суті глобальна інформація на графіку. Не повинно бути важким придумати пару прикладів, які показують, що для проблеми потрібні кола ( зв'язку; з іншого боку, O ( n ) раундів достатньо для вирішення будь-якої проблеми (припускаючи унікальні ідентифікатори).$\Omega(n)$$O(n)$

Підсумовуючи це: - проблема вирішення часу, Θ ( n ) - проблема пошуку в часі, і це найгірший можливий розрив.$O(1)$$\Theta(n)$

Редагувати: Це неявно передбачає, що графік пов'язаний (або, що еквівалентно, що ми хочемо знайти ейлеровий цикл у кожному підключеному компоненті).

Пошук розділів Тверберга невідомої складності:

Теорема: Нехай - точки в R d , m ≥ ( r - 1 ) ( d + 1 ) + 1 . Тоді є розділ S 1 , S 2 , … , S r of $x_1,x_2,\dots, x_m$$R^d$$m \ge (r-1)(d+1)+1$$S_1,S_2,\dots, S_r$ такимщо ∩ г J = 1${1,2,\dots,m}$ .$\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Як і у випадку рівноваги Неша, розділ гарантується теоремою, але невідомо, чи існує політайм-алгоритм, щоб знайти його.

Гіл Калай написав чудову серію дописів на цю тему: один , два та три .

У всіх наведених вище прикладах проблема рішення є в P, а проблема пошуку, як відомо, не знаходиться в P, але також не відомо, що є NP-жорсткою. Хочу зазначити, що можлива проблема з жорстким пошуком NP, версія рішення якої проста.

Розглянемо узагальнену задачу задоволеності для заданих відносин по булевій області { 0 , 1 } . Екземпляр - це вираз форми R i 1 ( t 11 , … , t 1 r 1 ) ∧ ⋯ ∧ R i m ( t m 1 , … , t m r m ), де t i $R_1,\ldots,R_k$$\{0,1\}$

Як було показано Рейт і Vollmer тут , що існує вибір відносин , які роблять цю проблему NP-важкою ( на насправді OptP-повній) , але тримати проблему здійсненності легко (досить тривіальним на самом деле). Приклад, наведений у статті, - R = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 $R_1,\ldots,R_k$$R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$$k = 1$). Після того, як проблема задоволеності вирішиться в поліноміальний час, питання про існування лексикографічно мінімального задовольняючого завдання є тривіальним.

Див. Слідство 13 та приклад, що слідує за ним, у статті вище (принаймні, у цій он-лайн версії).

• $k$$k$
• Версія пошуку NP- тверда: пошук хроматичної кількості графіків без індукованого шляху з п'ятьма вершинами; завдяки цій роботі .

$e$$e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$$e$

$e$$(g, h, g^a, h^b)$$a = b$$e (g, h^b) = e (h, g^a)$

Такі групи також узагальнюються до "груп розривів".

Я думаю, що Planar Perfect Matching пропустили із цього списку.

• $\mathsf{NC}$ ) паралельною версією (див. Mahajan-Subramanya-Vinay ) алгоритму Кастеліна
• $\mathsf{NC}$

Давайте трохи розберемо складність.

Багато проблем із прийняттям рішень щодо систем додавання векторів (VAS) є повноцінними, але можуть вимагати значно більших свідків. Наприклад, прийняття рішення про те, що мова VAS є регулярною, є ПОСЛІДНОЮ (наприклад, Blockelet & Schmitz, 2011 ), але найменший еквівалентний автомат з кінцевим станом може мати акерманський розмір ( Valk & Vidal-Naquet, 1981 ). Поясненням цього величезного розриву є те, що існує значно менше свідків нерегулярності .