максимізувати MST (G [S]) для всіх індукованих підграфів G [S] в метричному графіку

Чи вивчалася ця проблема раніше?

З огляду на метричний непрямий графік G (довжини ребер задовольняють нерівності трикутника), знайдіть набір S вершин, таких, що MST (G [S]) максимізовано, де MST (G [S]) є мінімальним розміщеним деревом підграфу, індукованим S. Чи вивчалася ця проблема раніше? Це NP-важко? Дуже дякую.

Це NP-завершення зменшенням вершини.

Нехай - графік, в якому важко знайти оптимальне покриття вершин. Створіть новий граф H з удвічі більшим числом вершин, шляхом приєднання нової ступеня однієї вершини до кожної вершині G . Перетворіть H на метричний простір, зробивши відстань між сусідніми вершинами, рівними 1, і відстань між не сусідніми вершинами, рівним 2 . Для цього метричного простору вага мінімального обертового дерева індукованого підграфа дорівнює кількості вершин плюс кількості з'єднаних компонентів підграфа мінус одиниця.$G$$H$$G$$H$$1$$2$

Можна припустити, що підграф із найважчим MST включає всі вершини першого ступеня, тому що додавання однієї з цих вершин ніколи не може зменшити кількість компонентів. Таким чином, вершини , які були видалені , щоб сформувати підграф є підмножиною . Можна також припустити , що ці віддалені вершини утворюють вершину кришку G . Тому що, якщо інший індукований підграф утворюється шляхом видалення вершин, які не утворюють кришку вершини, а u v є ребром, який не охоплюється, то видалення v призводить до індукованого підграфа, що є принаймні настільки ж хорошим: він має менше вершина, але ще один з'єднаний компонент, створений вершиною ступеня H, яка була приєднана до v .$G$$G$$uv$$v$$H$$v$

Таким чином, оптимальна підграф утворюється шляхом видалення вершини кришки з G . Такий підграф матиме рівно n компонентів (по одному на кожну ступінь - одна вершина, додана до H , сама по собі або підключена до вершини G ), і кількість вершин, рівних 2 n - k, де n = | V ( G ) | і k - розмір кришки. Таким чином, вага його MST становитиме 3 n - k + 1 . Щоб зробити це максимальним, ми повинні мінімізувати k .$H$$G$$n$$H$$G$$2n-k$$n=|V(G)|$$k$$3n-k+1$$k$