Яка найдавніша відкрита проблема у TCS?

Ця проблема натхненна цим питанням МО , яке я вважав дуже цікавим.

Яка найдавніша відкрита проблема у TCS?

Очевидно, що це питання потребує певного уточнення.

По-перше, що таке TCS? Я думаю, що існування непарних досконалих чисел не є TCS. Я б сказав, що десята проблема Гільберта - це TCS. Я думаю, що проблеми типу "Чи можемо ми побудувати X з лінійкою та компасом" - це також TCS, оскільки вони запитують алгоритм в обмеженій моделі обчислення. Можливо, немає жорсткого способу визначити, що таке проблема TCS, але скористайтеся своїм судженням. Можливо, один тест - "Якщо це вирішиться, то, швидше за все, воно з'явиться в STOC / FOCS? Чи дослідник, який вирішив це, швидше за все, був би вченим-теоретиком?"

По-друге, що "найстаріше"? Я маю на увазі найдавніший за датою. Зазначена дата також повинна бути підтвердженою, але я не думаю, що це має бути занадто важким.

По-третє, що таке "відкрита проблема"? Під «відкритою проблемою» я маю на увазі проблему, яку певно вважали відкритою. Можливо, вона з’явилася наприкінці статті у розділі відкритих проблем, або, можливо, є докази того, що деякі люди над цим працювали і не спрацювали, або, можливо, в літературі є неправильні докази, які дозволяють припустити, що це було вивчено. Приклад чогось, що не відповідає цим критеріям: "Греки вивчали об'єкти X і Y. Z, очевидно, є проміжним об'єктом. Вони, безумовно, цікавились, чи можна його побудувати". Якщо немає літератури про Z з того періоду часу, то це не є відкритою проблемою з того періоду часу.

По-четверте, що я маю на увазі під "проблемою"? Я маю на увазі конкретне питання "так / ні", а не щось на кшталт "Охарактеризуйте всі об'єкти X властивістю Y", оскільки такі запитання часто не мають задовільної відповіді. Досить часто виникають розбіжності щодо того, чи було вирішено питання. Давайте тут не вникати в такі питання. Якщо це не так / ні питання, але зрозуміло, що він справді відкритий, це теж добре. (Якщо це не зрозуміло, під "проблемою" я маю на увазі формально заявлену проблему. Будь ласка, не перетворюйте якусь народну легенду про азартні ігри в 16 столітті в питання про BPP та PSPACE.)

Нарешті, оскільки це питання не з великим списком, будь ласка, опублікуйте відповідь лише у тому випадку, якщо ви вважаєте, що він старший за відповіді, які вже були опубліковані (або якщо ви вважаєте, що опубліковані відповіді не відповідають іншій умові - наприклад, вони не є TCS, або вони не відкриті). Це не безладна колекція старих відкритих проблем.

У чому полягає обчислювальна складність цілого множення? Можливо, це питання походить щонайменше з алгоритму "дублювання та посередництва" для цілого множення, описаного в математичному папірусі Рейнґа, написаному приблизно в 1650 р. До н.е. , але він стверджує, що є копією значно старшого документа.

Правда, папірус Rhind не чітко враховував складність алгоритму. Тож, можливо, краща відповідь: Яка складність розв’язування систем лінійних рівнянь? Дослідження ефективних алгоритмів для розв’язання лінійних систем бере початок щонайменше до коментаря Лю Хуя, опублікованого в 263 р. Н. Е. , "Дев'ять глав математичного мистецтва" . Зокрема, Лю Хуй порівнює два варіанти того, що зараз визнається Гауссовим усуненням, і підраховує кількість використовуваних арифметичними операціями з явною метою знайти більш ефективний метод.

Обидва ці питання як і раніше є об'єктом активних досліджень.

Пошук ефективного алгоритму факторингу, здається, сягає щонайменше Гаусса. Стаття 329 Gauss ' Disquitiones Arithmeticae (1801) мала наступну цитату ( джерело ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Звичайно, це правда, що Гаусс формально не визначив саме те, що він бажав, з алгоритму факторингу. У тій же статті він говорив, хоча про те, що всі алгоритми тестування на первинність, відомі на той час, були дуже "трудомісткими і пролісними".

Наступне, цитується з

• Goldwasser, S. and Micali, S. 1982. Імовірнісне шифрування та як грати в ментальний покер, зберігаючи в таємниці всю часткову інформацію. У працях чотирнадцятого щорічного симпозіуму ACM з теорії обчислень (Сан-Франциско, Каліфорнія, США, 05 - 07 травня 1982 р.). STOC '82. ACM, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Посилається на ще одну проблему, що датується Гауссом Disquitiones Arithmeticae (1801):

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

PS: На сьогодні ми знаємо дві з чотирьох алгоритмічних задач :

1. Факторинг (як згадується арнабом);
2. Вирішення квадратичної резидентності.

які ще дві проблеми описані Гауссом?

У літературі нашої країни є приказка, яку я дослівно перекладаю як "загадка стає легкою, коли її вирішують". Хоч це і не є гарним перекладом, але це стосується того, що коли у вас є рішення, ви можете легко його перевірити; ще до цього загадка здається дуже важкою.

Це стосується вже відомої проблеми "FP vs. FNP": Якщо FNP = FP, перевірити відповідь на загадку так само просто, як і знайти її. Але якщо FNP ≠ FP, то існують "загадки", для яких знайти рішення набагато важче, ніж перевірити рішення.

Я вважаю, що ця проблема є найстарішою відкритою проблемою TCS, але її сувора формулювання сягає приблизно 30 років тому!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

EDIT: "Чи можемо ми множимо числа в полі-час" - це ще одна відкрита проблема TCS, але я думаю, що вона молодша, ніж проблема, згадана вище.

Ось два списки відкритих проблем TCS в Інтернеті:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

У нас також є такий список тут, на CSTheory.

Я сумніваюсь у вашій теорії чисельних чисел, що включає питання про те, чи є деякі теоретичні множини кінцевими чи нескінченними як частина TCS і, безумовно, буде стверджувати інше. греки запитали, чи:

• чи є непарні досконалі числа? [можливо, розглядається euclid]

• чи існує нескінченна кількість близнюків-близнюків?

$TM_x$$TM_y$

тому, напевно, це дві античні алгоритмічні проблеми, і «зелені» вперше почали формувати ТКС переважно у формі теорії чисел, а проблеми теорії ранніх чисел - лише окремі випадки зупинки задачі Турінга та ранні непрямі докази її складності. і існує тісний взаємозв'язок між запитанням про / пошуку / пошуку доказів та теорією невідповідності.

Імовірно, нові дослідження показують, що гіпотеза колаце, колись вважалася цікавістю теорії чисел, має глибокі зв’язки з теорією обчислюваності, і може лежати прямо на межі між невирішеними та вирішуваними проблемами. також приклад, який ви цитуєте з 10-ї проблеми гілбертів, показує дуже фундаментальний зв'язок між теорією чисел і TCS.

ще два античні алгоритмічні питання:

• що таке ефективний чи найефективніший алгоритм для обчислення gcd, найбільшого спільного дільника?

• що таке ефективний чи найефективніший алгоритм для обчислення простих чисел?

погодився, друге питання досить тісно пов'язане з факторингом, але це не зовсім те саме. це вважалося ситом ератостена та евклідом. Звичайно, нещодавно було показано, що він знаходиться в P AKS, але навіть тоді алгоритм не є абсолютно оптимальним.

існує дуже сучасне дослідження TCS щодо алгоритму gcd euclids gcd (тобто 20 століття), яке показало, що цифри фільтрів дають йому найгірші показники. [не впевнений, хто перший показав це]

до тих пір, поки алгоритм евклідів не буде доведений оптимальним, але, можливо, ефективний обчислення gcd все ще відкритий.

Не впевнений, наскільки серйозна ця відповідь, але….

Це дійсно залежить від того, наскільки широко ви готові визначити своє питання.

Безумовно, "чи можна побудувати розумну машину?" є найдавнішим відкритим питанням у CS, яке розпочало інформатику, але, ймовірно, на мільйон або два, ніж CS. Ні? (Це теоретичне запитання, оскільки він просить відповіді - не для самої машини ...)

Природним посиланням на пошук розумної машини був би Голем ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Я можу відповісти на ваше запитання зі 100% визначеністю протягом певного періоду. Якщо ми розглянемо період, починаючи з випускного документу Хартманіса та Стірнса, до будь-якої точки майбутнього, найстарішою проблемою TCS, яка все ще залишається відкритою, є:

Який мінімум накладних витрат необхідний для моделювання детермінованих ТМ?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$