Алгоритми з книги.

Пол Ердос розповів про "Книгу", де Бог зберігає найелегантніші докази кожної математичної теореми. Це навіть надихнуло книгу (яка, на мою думку, зараз є у її четвертому виданні): Докази з книги .

Якби Бог мав аналогічну книгу щодо алгоритмів, який алгоритм, на вашу думку, був би кандидатом?

Якщо можливо, будь ласка, надайте посилання, що можна натискати, та ключові відомості, які дозволять йому працювати.

Будь ласка, лише один алгоритм на відповідь.

Пошук союзу - прекрасна проблема, найкращий алгоритм / структура даних ( Disjoint Set Forest ) заснована на степі спагетті. Хоча це дуже просто та інтуїтивно зрозуміло, щоб пояснити розумній дитині, знадобилося кілька років, щоб чітко обмежити час її виконання. Зрештою, було виявлено, що його поведінка пов'язана із зворотною функцією Акермана, функцією, відкриття якої ознаменувало зміну точки зору щодо обчислення (і насправді було включено у «Гірбертське« Нескінченне ).

У Вікіпедії є хороший вступ до нерозчленованих лісів .

Збіг рядків Knuth-Morris-Pratt Вісім рядків коду, які ви коли-небудь побачите.

Алгоритм Блюма, Флойд, Пратт, Ривест і Tarjan , щоб знайти K - й елемент несортоване списку в лінійний час красивий алгоритм, і працює тільки тому , що номер тільки право , щоб відповідати в Генеральній теоремі. Виходить так:

1. Сортуйте кожну послідовність із п’яти елементів.
2. Виберіть медіану в кожній.
3. Повторіть пошук медіани цього списку.
4. Поворот на медіані медіани (як у Quicksort)
5. Виберіть потрібну сторону списку та розташуйте у цьому списку та повторіть повтор.

Двійковий пошук - це найпростіший, красивий і корисний алгоритм, з яким я коли-небудь стикався.

Я здивований, що не бачу алгоритму Флойда-Варшалла для всіх пар найкоротших шляхів тут:

d[]: 2D array. d[i,j] is the cost of edge ij, or inf if there is no such edge.

for k from 1 to n:
  for i from 1 to n:
    for j from 1 to n:
      d[i,j] = min(d[i,j], d[i,k] + d[k,j])

Один з найкоротших, найясніших нетривіальних алгоритмів, і виконання дуже сприятливе, якщо врахувати, що може бути ребер. Це було б моїм плакатом для динамічного програмування!O ( n 2$O(n^3)$$O(n^2)$

Евклідовий алгоритм для обчислення найбільшого спільного дільника (GCD)

Можливо, це здасться дещо тривіальним (особливо порівняно з іншими відповідями), але я думаю, що Quicksort справді елегантний. Я пам'ятаю, що коли я вперше побачив це, я думав, що це справді складно, але зараз це здається занадто простим.

Хаффман кодування для стиснення даних.

Тест на простоту Міллера-Рабіна (і подібні тести) повинні бути в книзі. Ідея полягає в тому, щоб скористатися властивостями праймес (тобто, використовуючи маленьку теорему Ферма), щоб імовірнісно шукати свідка того, що число не є простим. Якщо свідків не знайдено після достатньо випадкових тестів, число класифікується як основне.

З цього приводу, тест первинності AKS, який показав PRIMES, є в P, безумовно, повинен бути в Книзі!

Тестування поліноміальної ідентичності за лемою Шварца-Зіппеля :

Якщо хтось розбудив вас посеред ночі і попросив випробувати два одновимірні поліномічні вирази на ідентичність, ви, мабуть, зведете їх до нормальної форми суми продуктів і порівняйте за структурною ідентичністю. На жаль, скорочення може зайняти експоненціальний час; це аналогічно зведенню булевих виразів до диз'юнктивної нормальної форми.

Якщо припустити, що ви любите рандомізовані алгоритми, наступною вашою спробою, ймовірно, буде оцінка поліномів у випадково вибраних точках у пошуках зустрічних прикладів, оголосивши поліноми, ймовірно, ідентичними, якщо вони пройдуть достатню кількість тестів. Лема Шварца-Зіппеля показує, що зі збільшенням кількості очок шанс помилкового позитиву зменшується дуже швидко.

Не відомий детермінований алгоритм задачі, який працює в поліноміальний час.

Глибинний перший пошук . Це основа багатьох інших алгоритмів. Це також оманливо просто: Наприклад, якщо ви замінюєте чергу в реалізації BFS стеком, ви отримуєте DFS?

Алгоритм Дійкстри : проблема найменшого короткого шляху для одного графіка для графіка з негативними крайовими витратами шляху. Він використовується скрізь і є одним з найкрасивіших алгоритмів. Без нього не можна було прокласти Інтернет - це основна частина протоколів маршрутизації IS-IS та OSPF (Open Shortest Path First).

1. Призначте кожному вузлу значення відстані. Встановіть його на нуль для нашого початкового вузла та на нескінченність для всіх інших вузлів.
2. Позначте всі вузли як невидимі. Встановіть початковий вузол як поточний.
3. Для поточного вузла розгляньте всі його невідомі сусіди та обчисліть їх орієнтовну відстань (від початкового вузла). Наприклад, якщо поточний вузол (A) має відстань 6, а ребро, що з'єднує його з іншим вузлом (B), дорівнює 2, відстань від B до A буде 6 + 2 = 8. Якщо ця відстань менше попередньо записаної відстані (нескінченність на початку, нуль для початкового вузла), перепишіть відстань.
4. Коли ми закінчимо розглядати всіх сусідів поточного вузла, позначте його як відвідуваний. Відвіданий вузол більше ніколи не перевірятиметься; його відстань, записана зараз, остаточна і мінімальна.
5. Якщо всі вузли були відвідані, закінчіть. В іншому випадку встановіть невідомий вузол з найменшою відстані (від початкового вузла) як наступний "поточний вузол" і продовжуйте з кроку 3.

Решето Ератосфена , простий і інтуїтивно зрозумілий.

Мені також подобається краса Алгоритму Хорнера .

Повністю гомоморфна схема шифрування Джентрі (або над ідеальними гратами, або над цілими числами) надзвичайно гарна. Це дозволяє третій стороні виконувати довільні обчислення на зашифрованих даних без доступу до приватного ключа.

Схема шифрування обумовлена ​​кількома гострими спостереженнями.

• Щоб отримати повністю гомоморфну ​​схему шифрування, потрібно лише мати схему, гомоморфну ​​над додаванням та множенням. Це тому, що додавання та множення (мод 2) достатньо, щоб отримати ворота І, АБО та НЕ (і, отже, Turing завершеність).
• Якщо така схема мала існувати, але через деякі обмеження можна було виконати лише для схем певної граничної глибини, то можна гомоморфно оцінити процедуру дешифрування та рецензування, щоб скинути обмеження глибини ланцюга, не приносячи шкоди ключовій конфіденційності.
• Що, «розчавивши» глибину версії схеми функції дешифрування для схеми, можна дозволити схемі, спочатку обмеженій обмеженими, неглибокими схемами, довільною кількістю обчислень.

У своїй дисертації Крейг Джентрі вирішив давню (і чудову) відкриту проблему в криптографії. Факт існування повністю гомоморфної схеми вимагає, щоб ми визнали, що існує якась притаманна структура обчислення, яку ми могли б інакше ігнорувати.

http://crypto.stanford.edu/craig/craig-thesis.pdf

http://eprint.iacr.org/2009/616.pdf

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1666420.1666445

Кулі-Тьюки FFT алгоритм .

Алгоритм Страссена для матричного множення.

Алгоритм стабільного шлюбу Гейла-Шаплі . Цей алгоритм жадібний і дуже простий, спочатку не очевидно, чому він би працював, але потім доказ коректності знову легко зрозуміти.

Лінійний алгоритм часу для створення суфіксних масивів справді прекрасний, хоча він і справді не отримав визнання, яке він заслужив http://www.cs.helsinki.fi/u/tpkarkka/publications/icalp03.pdf

Гауссова ліквідація. Він завершує послідовність узагальнення від евклідового алгоритму GCD до Knuth-Bendix.

Мене вразило, коли я вперше побачив алгоритм відбору проб пласта та його доказ. Це типова головоломка типу "тизер мозку" з надзвичайно простим рішенням. Я думаю, що це безумовно належить до книги, як для алгоритмів, так і для математичних теорем.

Що стосується книги, то йдеться про те, що коли Ердес помер і пішов на небо, він попросив зустрітися з Богом. Запит був задоволений, і для зустрічі Ердес мав лише одне питання. "Чи можу я подивитися в книзі?" Бог сказав так і привів Ердоса до цього. Зазвичай дуже схвильований, Ердес відкриває книгу лише для того, щоб побачити наступне.

Теорема 1: ...
Доведення: Очевидне.

Теорема 2: ...
Доведення: Очевидне.

Теорема 3: ...
Доказ: очевидно.

Алгоритм черепахи та зайця . Мені це подобається, тому що я впевнений, що навіть якби я все своє життя пробував, намагаючись його знайти, немає ніякого способу придумати таку ідею.

Приклад настільки фундаментальний і "тривіальний", як доказ Евкліда про нескінченно багато прайсів:

2-наближення для MAX-CUT - незалежно для кожної вершини призначайте її одному з двох розділів з однаковою ймовірністю.

Я завжди був частковим до алгоритму Кристофідеса, який дає (3/2) -апроксимацію для метричної TSP. Насправді, зателефонуйте мені легко, але мені навіть сподобався алгоритм 2-наближення, який був раніше . Хитрість Крістофідеса - створити мінімальну вагу, що охоплює дерево Ейлеріана, додавши відповідність вершин його непарного ступеня (замість того, щоб дублювати всі краї), є простим і елегантним, і потрібно мало переконати одного, що ця відповідність має не більше половини ваги оптимального туру.

Об’єднати сортування . Простий, елегантний, ефективний.

$O(\sqrt N)$

Алгоритми лінійного програмування : симплексний, еліпсоїдний та внутрішній методи точки.

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming#Algorithms

Алгоритм Робіна Мозера для вирішення певного класу екземплярів SAT. Такі випадки вирішуються локальною лемкою Lovasz. Алгоритм Мозера - це справді де-рандомізація твердження леми.

Я думаю, що через кілька років його алгоритм (і методика його коректності) буде добре засвоєний і вдосконалений до того, що стане життєздатним кандидатом на алгоритм із Книги .

Ця версія є продовженням його оригінального документа, написаного з Габором Тардосом.

Найбільш швидкий і найкоротший алгоритм Маркуса Хаттера для всіх чітко визначених проблем .

Цей вид суперечить духу інших пропозицій у цьому списку, оскільки це лише теоретичний, а не практичний інтерес, але знову ж таки титульний вид говорить про це все. Можливо, його слід включити як застережливу розповідь для тих, хто буде дивитися лише на асимптотичну поведінку алгоритму.

Алгоритм Кнута X знаходить усі рішення точної проблеми обкладинки . Що таке магічне у цьому - це техніка, яку він запропонував ефективно його втілити: Танцювальні посилання .

Я думаю, що ми мусимо включити Шібер-Вишкіна , який відповідає на найнижчі запити предків у постійному часі, попередньо обробляючи ліс у лінійний час.

Мені подобається експозиція Кнута в Томі 4 Fascicle 1 та його розміщення . Він сказав, що йому знадобилося цілих два дні, щоб повністю зрозуміти це, і я пам'ятаю його слова:

Я думаю, що це досить красиво, але дивно, що в літературі погана преса (..) Це засноване на математиці, яка мене хвилює.