Формування теорії кінцевих множин в теорії типів

Більшість помічників доказування мають формалізацію поняття "скінченна множина". Ці формалізації, однак, дико відрізняються (хоча можна сподіватися, що всі вони по суті рівнозначні!). Я не розумію на даний момент - це проектний простір, які плюси та мінуси кожної формалізації.

Зокрема, я хотів би зрозуміти наступне:

• Чи можу я аксіоматизувати кінцеві множини (тобто типи, населені кінцевою кількістю мешканців) у простої теорії типу? Система F? Які недоліки зробити це таким чином?
• Я знаю, що це можна зробити «елегантно» у залежно набраній системі. Але, з класичної точки зору, отримані визначення здаються надзвичайно чужими. [Я не кажу, що вони помиляються, далеко не це!]. Але я не розумію, чому вони теж "праві". Я розумію, що вони вибирають правильну концепцію, але більш глибокою причиною "сказати це саме так" є те, що я не повністю розумію.

В основному, я хотів би аргументованого введення в проектний простір формалізацій поняття "скінченна множина" в теорії типів.

Я знаю, що це можна зробити «елегантно» у залежно набраній системі. Але, з класичної точки зору, отримані визначення здаються надзвичайно чужими.

Чи можете ви пояснити, що ви маєте на увазі під «чужим»? Мені здається, ви формалізуєте поняття скінченної множини точно однаково в теорії типів і в теорії множин.

У теорії множин ви продовжуєте визначати множину як Потім ви визначаєте предикат скінченності як: Де означає ізоморфізм множин.$Fin(n)$Р я п я т е ( Х ) ≜ ∃ п ∈ N

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ A ≃ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

У теорії типів ви можете зробити точно те ж саме! Зауважимо, що - це тип з елементами (оскільки другий компонент пари не є коректним). Тоді ви можете визначити конструктор типу скінченності як: Де означає ізоморфізм типів.

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Дозвольте мені побачити, чи можу я додати щось корисне до відповіді Ніла. "Проектний простір" для кінцевих наборів набагато більший конструктивно, тому що це класично, тому що різні визначення "кінцевого" не повинні конструктивно узгоджуватися. Різні визначення в теорії типів дають дещо різні поняття. Ось кілька можливостей.

Куратовський кінцеві безлічі ( -кінцева) можна охарактеризувати як вільний ∨ -semilattices: задано безліч, типу або об'єкт Х , елементи вільного ∨ -semilattice K ( X ) можуть бути thougth як кінцеві підмножини X . Дійсно, кожен такий елемент породжується:$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• нейтральний елемент , який відповідає порожньому набору, або$0$
• генератор , що відповідає синглетону { x } , або$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• з'єднання двох елементів, що відповідає об'єднанню.$S \lor T$

Еквівалентна формулювання є: S ⊆ X є До -Звичайно , якщо, і тільки якщо існує п ∈ N і сюр'єкція е : { 1 , ... , п } → S .$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

Вирішуючи, що таке "правильне" визначення, ви повинні звернути увагу на те, що ви хочете робити з кінцевими множинами. І єдиного правильного визначення немає. Наприклад, у якому сенсі "кінцевим" є сукупність складних коренів поліноміального скінченного ?

Дивіться конструктивно скінченне? Тьєррі Кокенд та Арно Співак для детального обговорення кінцевості. Урок полягає в тому, що кінцевість далеко не очевидна конструктивно.