Продовження, що проходить перетворення двійкових функцій

Нагадаємо продовжуючу передачу перетворення (CPS перетворення), яка приймає від до (де закріплено) і до визначено Насправді у нас є монада продовження з одиницею визначена і множення визначене $A$ $\beta A \mathrel{{:}{=}} R^{R^A}$ $R$ $f : A \to B$ $\beta f : \beta A \to \beta B$

β f κ r : = κ (r \circ f) .

$\beta \, f \, \kappa \, r \mathrel{{:}{=}} \kappa (r \circ f).$

η_{A} : A \to β A

$\eta_A : A \to \beta A$

η_{A} x : = λ r . r x

$\eta_A x \mathrel{{:}{=}} \lambda r . r \, x$

μ_{A} : β (β A) \to β A

$\mu_A : \beta (\beta A) \to \beta A$

μ_{A} K r : = K (λ f . f r) .

$\mu_A \, K \, r \mathrel{{:}{=}} K (\lambda f . f \, r).$

Тепер давайте подумаємо про те , як ми можемо перетворити двійкове відображення , тобто, ми хочемо . Швидко з'являється Це має сенс і з точки зору програмування. $f : A \to B \to C$ $\gamma f : \beta A \to \beta B \to \beta C$

γ f κ ν r : = κ (λ x . β (f x) ν r) .

$\gamma \, f \, \kappa \, \nu \, r \mathrel{{:}{=}} \kappa (\lambda x . \beta (f x) \nu r).$

Ось моє запитання: чи є глибша причина , крім того, що вона виглядає правильно з точки зору програмування? Наприклад, чи є теоретична категорія чи інша "теоретична" причина думати, що має сенс? Наприклад, чи можемо ми готувати з монади систематично? $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$

Я шукаю уявлення про перетворення CPS -ary функцій. $n$

— Андрій Бауер
джерело

Ви шукаєте щось, що виходить за рамки Хаскелла liftM2чи узагальнення Applicative? Ви можете отримати n-ary-версію описаного вами (мовою, яка дозволяє говорити про n-ary поліморфні функції) безпосередньо з додаткової структури продовження.

— гарбуз

Я вмію писати ці узагальнення, хочу знати, чому вони такі. Теоретики категорій зрозуміють, про що я прошу.

— Андрій Бауер

Хм, спасибі за вказівку Applicative. Тут liftA2є моя , див. Hackage.haskell.org/packages/archive/base/4.2.0.0/doc/html/…

γ

$\gamma$

— Андрій Бауер

Так, liftA2було частиною того, що я пропонував. Поняття "дужка ідіоми" ( (| f x y z ... |)перекладається з pure f <*> x <*> y <*> z <*> ...) Applicativeздається систематичним способом отримання n-арної форми вашого запитання. Я знаю КТ, але здавалося, що простіше говорити про це у стандартних програмування. Якщо ви раніше не стикалися Applicative, ви, можливо, захочете поглянути на в'ялі моноїдальні функтори (хоча заява Хаскелла про це <*>містить і експоненти). У всякому разі, у мене немає відповіді для вас, але я намагався краще зрозуміти, що ви отримуєте :)

— copumpkin

Кандидатська дисертація Хайо Тілеке наводить категоричну структуру CPS. Можливо, відповідь лежить там чи в інших його публікаціях. cs.bham.ac.uk/~hxt/research/hayo-thielecke-publications.shtml

— Дейв Кларк

Відповіді:

Найближче, що я бачив, щоб відповісти на це питання - це перша картина в Галереї доктора Мельєса , що ~~ A * ~~ B | - ~~ (A * B) ілюструє карту яка існує в будь-якій категорії діалогу (тобто моноїдна категорія із замиканнями на нерухомий об'єкт). Зауважимо, що перетворення CPS зліва направо на загальні бінарні функції зводиться до застосування цієї карти, а потім до складання функціональної дії монади подвійного заперечення.

\neg \neg A \otimes \neg \neg B ⟶ \neg \neg (A \otimes B)

$\neg\neg A \otimes \neg\neg B \longrightarrow \neg\neg(A \otimes B)$

Ілюстрація в основному відповідає стандартним умовам рядкових діаграм (модульно поляризація проводів, які мають на увазі потік управління). Зокрема, карта побудована в три етапи: двічі застосувавши силу ( ) монади, викликану запереченням самовідрахування, а потім застосувавши лічильник доповнення ( ). На цьому рівні абстракції деривація є загальною для будь-якої доповнення, що породжує сильну монаду, і ви можете потім попросити більш абстрактну характеристику таких пристосувань, про яку також писав Меллієс . $\kappa\wedge$ $\epsilon$

— Ноам Зейльбергер
джерело

Додавання відповіді Ноама:

$f : A \to B \to C$ $uncurry( f) : A \times B \to C$ $T$ $dblstr : T A \times T B \to T (A\times B)$

$T A \times T B \xrightarrow {dblstr} T(A\times B) \xrightarrow{uncurry(f)} TC$

Якщо ми подамо це до монади продовження, ми отримаємо вашу конструкцію.

$n$

$\pi$ $n$ $\pi$ $str_{\pi} : T A_1 \times \cdots \times T A_n \to T(A_1 \times \cdots \times A_n)$ $n$ $f : A_1 \times \cdots \times A_n \to C$ $\gamma f : TA_1 \times \cdots \times TA_n \xrightarrow{str_{\pi}} T(A_1 \times \cdots \times A_n) \xrightarrow{Tf} TC$

Але я все ще не думаю, що це справді дає тобі відповідь, яку ти шукаєш ...

— Охад Каммар
джерело