Обчислення вхідної довжини на односмуговій машині Тюрінга

У зв’язку з цим питанням у мене виникло питання: яка часова складність для односмугової одноголової машини Тюрінга для обчислення довжини введення? Для конкретності, скажімо, що алфавіт стрічки - , вхід - це рядок у оточений пробілами, машина запускається в крайньому лівому символі введення, і він повинен закінчуватися на крайній лівий символ рядка в $\{0,1,b\}$ $(0+1)^*$ $(0+1)^*$ (знову оточений пробілами), що дає двійкове зображення довжини вводу. Це також можна розглядати як проблему перетворення числа з унарного в бінарне.

Це легко вирішити на двоступеневій машині або на двоголовій машині в лінійний час (просто скануйте вхід однією головою, використовуючи іншу головку, щоб неодноразово збільшувати лічильник; приріст - це постійна операція амортизованого часу). Але рішення з однією головою, які я можу придумати, є лише (наприклад, кілька разів збільшуючи лічильник, а потім зміщуючи його на одне положення уздовж стрічки). Чи є відповідна нижня межа? $O(n\log n)$

Я спробував кілька пошукових запитів, але такі фрази, як "одна голова" та "довжина введення", настільки поширені, що ускладнюють пошук літератури для відомих результатів з цієї проблеми.

turing-machines

— Девід Еппштейн
джерело

Цікаво .. Це менш очевидно, ніж здається, що має бути. Мені цікаво, чи існує залежність між нижньою межею для цього та нижньою межею для забутого моделювання ТМ. (Будь-яке ТМ, що вирішує цю проблему, за визначенням не повинно забувати (або матиме зайвий код).)

— Даніель Апон,

$o(n\lg n)$

$M$ $x$ $x$

$M$

$M$ $o(n \lg n)$ $o(n \lg n)$ $\mathsf{DTime}(n \lg n)$

L = {0^{i} ∣ \exists k i = 2^{k}}

$L = \{ 0^i \mid \exists k \ i = 2^k\}$

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n \lg n)) = \mathsf{Reg}$

L

$L$

M

$M$

o (n \lg n)

$o(n \lg n)$

— Каве
джерело

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n\lg n))=\mathsf{Reg}$

D T i m e (n \lg n) = R e g

$\mathsf{DTime}(n \lg n) = \mathsf{Reg}$

Спасибі за покажчики, я подивився в «Теорії класичної рекурсії» том. II. Адже те, що воно змінилося, мені не так зрозуміло. Наприклад, у книзі Сіпсера використовуються односмугові ТМ для визначення класів складності в часі, однак книга Хопкрофта-Улмана та найсвіжіші мультитапетні ТМ Арора-Барака та Голдріха.

— Бруно

@Bruno, я думаю, що більш поширене визначення DTime є складнішим. Наприклад, твердження, що "теорема часової ієрархії, як відомо, не є тісною", справедлива лише для односмугових машин, для машин з двома стрічками вона відома з 1982 року.

— Kaveh

D T i m e

$\mathsf{DTime}$