Перешкоди для відокремлення інших класів складності

Чи впливають природні докази , релятивізація та алгебризація на відокремлення інших класів складності, таких як тощо?$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

Наприклад, бар'єр природних доказів повинен впливати на будь-який доказ оскільки він відокремить . Однак, схоже, що відношення між та , схоже, не має великого значення з OWF, порівняно з співвідношенням та . Чи впливають природні докази на більш сильне відокремлення ?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Є (принаймні) дві сфери, де існуючі бар'єри мало що говорять:

Нижні межі ACC Невідомий бар'єр для доведення того, що TC0 не знаходиться в (нерівномірному) ACC - крім випадків, що розділення може бути помилковим. Незрозуміло, чи повинен застосовуватися бар'єр "Натуральні докази" для АСС. Питання зводиться до: чи слід очікувати виникнення псевдовипадкових функцій, реалізованих в ACC?

LOGSPACE проти NP Як зазначає Fortnow , існуючі механізми Oracle для обчислень, обмежених космосом, схоже, не представляють справжнього бар'єру для LOGSPACE проти NP. Наскільки мені відомо, відомі моделі oracle, які призводять до колапсу LOGSPACE і NP, також руйнуються ПОЛІТИЧНИЙ ЛОГСПЕЙС (тобто P) та ЗМІНЕННЯ ПОЛІТИМУ (тобто PSPACE), отже, ці оракули трактують чергувальні обчислювальні моделі невідповідно реальності (оскільки LOGSPACE не дорівнює до PSPACE).

Результати роботи Разборова та Рудича в природничих документах є досить загальними. Він не обмежується vs. .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Мені особисто подобається чіткість пояснення у останній книзі Стасіса Юкна " Складність булевих функцій: аванси та межі ":

Визначення 18.30. Функція з називається псевдовипадковим генератором якщо для будь-якого кола розміром на змінних, де вибрано рівномірно у , а в .$G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

Визначення 18.31. Нехай булева функція. Будемо говорити , що є -Жорсткий , якщо для будь-якої схеми розміру , де вибирається рівномірно у . $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

Генератор псевдовипадкових функцій - булева функція . Встановивши змінну випадково, ми отримаємо її випадкову підфункцію . Нехай - справді випадкова булева функція. Генератор захищений від атаки, якщо для кожного ланцюга в , $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

A природний доказ проти - це властивість задовольняє наступним трьом умовам: 1. Корисність проти : означає . 2. Широкість: принаймні частка всіх функцій . 3. Конструктивність: , тобто коли розглядати як булева функція в змінних, властивість сама належить до класу$\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$$f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$.

Теорема 18.35. Якщо клас складності містить генератор псевдовипадкових функцій, захищений від Γ-атак, то немає -природного доказу проти .$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

Питання: 1. Чи віримо ми, якщо є такі жорсткі функції? 2. Наскільки конструктивними / великими ми очікуємо властивості, які можуть бути в даний час можливими доказами поділу?

З іншого боку, Разбаров в різних місцях згадував, що він особисто розглядає результат як керівництво того, чого слід уникати, а не як істотну перешкоду для доведення нижчих меж.

Крім робіт Райана Вільямса протягом останніх декількох років, про які він згадував, були два документи:

1. Тімоті Чоу , " Майже природні докази ", 2008 р., Який стверджує, що якщо ми трохи розслабимо величину, то існують суттєво природні властивості, які б відокремили від .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. Ерік Аллендер та Міхал Коуккі , " Посилення нижньої межі засобами самовідновлення ", 2008 р., Де говориться, що для відокремлення від нам потрібно лише довести трохи надлінійні нижні межі на розмір схем обчислюють булеву задачу оцінки формули. Існування природних доказів для такої нижньої межі не видається необґрунтованим.$\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

Релятивізація та алгебраїзація дещо складніші і залежать від способу визначення релятивизації для цих класів. Але, як правило, проста діагоналізація (діагоналізація, яка використовує однаковий зустрічний приклад для всіх машин, що обчислюють одну і ту ж функцію, тобто зустрічний приклад залежить тільки від того, які машини в менших обчисленнях, і не залежить від їх коду та способу їх обчислення. ) не може розділити ці класи.

Можна витягнути непрості функції діагоналізації з результатів непрямої діагоналізації, як, наприклад, нижчі межі часового простору для SAT.