Порівняно зростання кількості синтаксичних класів та класів Нерода.

Для мови L ⊆ Σ ^ * , визначають синтаксичну конгруентність ≡ з L в якості найменшого конгруенції на Е ^ * , що насичує L , тобто:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Тепер визначте еквівалентність Нероду як наступну правильну конгруентність:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Нехай [u] - клас еквівалентності u відносно ≡ і 〈u〉 відносно ∼ . Тепер визначимо i (n) число різних [u] для u розміру n , а також визначимо j (n) аналогічним чином для ∼ .

Тепер питання, як співвідносяться дві функції?

Наприклад, стандартна теорема (я вважаю, що Клійн-Шютценбергер) говорить, що i (n) обмежена постійною, коли j (n) є, і взаємно.

Питання: Чи є ще якийсь результат у цій тенденції? Що робити, якщо, наприклад, один з них є многочленом?

Здається, цей документ http://arxiv.org/abs/1010.3263 може бути відповідним вашому запитанню.

У рефераті зазначено:

Складність держави звичайної мови - це кількість станів у мінімально детермінованому автоматі, що приймає мову. Синтаксична складність регулярної мови - це кардинальність її синтаксичної напівгрупи. Синтаксична складність підкласу регулярних мов - це найгірша синтаксична складність, взята як функція складності стану мов цього класу. Вивчаємо синтаксичну складність класу регулярних ідеальних мов та їх доповнень, закритих мов. Ми доводимо, що n n - 1 - це щільна верхня межа складності правильних ідеалів і мов із закритою префіксом, а також існують ліві ідеали та закриті суфіксом мови синтаксичної складності n n $n$$n^{n-1}$, а двосторонні ідеали та закриті факторами мови синтаксичної складності n n - 2 +(n-2) 2 n - 2 +1.$n^{n-1}+n-1$$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

Таким чином, наскільки я розумію, це відповідає на ваше запитання щодо розмірів синтаксичної та напівгрупи Міхілл-Нерода: в цілому синтаксична збіжність може мати експоненціально багато класів, ніж відношення Міхілла-Нерода.

Останній коментар. Зазвичай скінченність обох напівгруп для звичайних мов приписується М. Рабіну та Д. Шотту (Кінцеві автомати та проблеми їх вирішення. IBM Jourmal. Квітень 1959). Зокрема, з тексту Рабіна та Скотта випливає, що кількість синтаксичних класів не перевищує , де n - кількість класів Міхілла-Нерода.$n^n$$n$