Як можна мотивувати реляційну параметричність?

Чи існує якийсь природний спосіб зрозуміти суть реляційної семантики параметричного поліморфізму?

Я щойно почав читати про поняття реляційної параметричності, а-ля Джона Рейнольдса "Типи, абстракція та параметричний поліморфізм", і у мене виникають проблеми з розумінням того, як мотивується реляційна семантика. Набір семантики має для мене ідеальний сенс, і я розумію, що задана семантика є недостатньою для опису параметричного поліморфізму, але стрибок до реляційної семантики здається магічним, виходячи повністю з нізвідки.

Чи є якийсь спосіб пояснити це за рядками "Припустимо співвідношення основних типів і термінів, а потім інтерпретація похідних термінів - це лише природний зв'язок між ... такою та такою природною річчю ... у вашій мові програмування "? Або якесь інше природне пояснення?

Що ж, реляційна параметричність - одна з найважливіших ідей, яку вводить Джон Рейнольдс, тому не слід надто дивувати, що це виглядає як магія. Ось казка про те, як він, можливо, його вигадав.

Припустимо, ви намагаєтесь формалізувати думку про те, що певні функції (ідентифікація, карта, складання, перетворення списків) діють "однаково на багатьох типах", тобто у вас є інтуїтивні уявлення про параметричний поліморфізм, і ви сформулювали деякі правила для створення таких карт, тобто поліморфного $\lambda$ -калькуляції або якогось раннього його варіанту. Ви помічаєте, що наївна множинно-теоретична семантика не працює.

Наприклад, ми дивимось на тип

$$\forall X : \mathsf{Type} . X \to X,$$ яка повинна містити лише тотожність карти, але наївна теоретично множинна семантика дозволяє отримати небажані функції, такі як $$\lambda X : \mathsf{Type} . \lambda a : X . \mathsf{if}\ (X = \lbrace 0, 1 \rbrace) \ \mathsf{then} \ 0 \ \mathsf{else}\ a.$$ Щоб усунути подібні речі, нам потрібно встановити деякі додаткові умови функцій. Наприклад, ми можемо спробувати деякі теорії домену: забезпечити кожен набір $X$ частковим порядком $\leq_X$ і вимагати, щоб усі функції були монотонними. Але це не зовсім скорочує це, оскільки зазначена вище непотрібна функція є або постійною, або тотожною, залежно від $X$ , і це монотонні карти.

Частковий порядок $\leq$ є рефлексивним, транзитивним та антисиметричним. Ми можемо спробувати змінити структуру, наприклад, ми могли б спробувати використовувати строгий частковий порядок, або лінійний порядок, або відношення еквівалентності, або просто симетричне відношення. Однак у кожному випадку проникають деякі небажані приклади. Наприклад, симетричні відношення усувають нашу небажану функцію, але дозволяють виконувати інші небажані функції (вправа).

І тоді ви помічаєте дві речі:

1. В необхідних прикладів ніколи не усунуто, незалежно від ставлення ви використовуєте замість часткових порядків $\leq$ .
2. У кожному конкретному небажаному прикладі, який ви дивитесь, ви можете знайти відношення, яке його усуває, але не існує єдиного відношення, яке б усувало їх усіх.

Отже, у вас геніальна думка, що шукані функції - це ті, що зберігають усі відносини , і реляційна модель народжується.

Відповідь на ваше запитання насправді є у байці Рейнольдса (Розділ 1). Дозвольте спробувати і інтерпретувати це для вас.

У мові чи формалізмі, в яких типи трактуються як абстракції , змінна тип може виступати за будь-яку абстрактну концепцію. Ми не припускаємо, що типи генеруються через синтаксис термінів типу або якусь фіксовану колекцію операторів типів, або що ми можемо перевірити два типи на рівність тощо. На такій мові, якщо функція включає змінну типу, то єдину Те, що функція може зробити для значень цього типу, - це перетасувати навколо заданих значень. Він не може вигадувати нові значення цього типу, оскільки не "знає", що таке тип! Це інтуїтивна ідея параметричності .

$t$$A$$A'$$R : A \leftrightarrow A'$$x \in A$$x' \in A'$$x$$x'$$R$$t$$x$$x'$$R$$x$$x'$

$A$$A'$$A$$A'$$A'$$A$

$R$$I_K$$K$$t \times Int \to Int \times t$$R \times I_{Int} \to I_{Int} \times R$$f$$(x,n)$$(x',n)$$(m,x)$$(m,x')$$F(I_{A_1},\ldots,I_{A_n}) = I_{F(A_1,\ldots,A_n)}$ власність.

$t \to t$$t \to Int$$Int \to t$$t \times t \to t \times t$$(t \to t) \to t$$(t \to t) \to (t \to t)$

$\omega$

Крім того, спокусливо визначити функції з однаковою поведінкою розширення, що призводить до відношення еквівалентності. Відношення є частковим, якщо виключити "невизначені" функції, тобто функції, які "цикли" для деякого добре сформованого вводу.

Моделі PER є узагальненням цього.

Інший спосіб бачити ці моделі - це (дуже) особливий випадок спрощених множинних моделей теорії типу гомотопії . У цьому рамках типи трактуються як (узагальнення), множини з відношеннями та відносини між цими відносинами тощо. На найнижчому рівні ми просто маємо моделі PER.

Нарешті, поле конструктивної математики побачило появу споріднених понять, зокрема Набір теорії єпископа передбачає опис множини, надаючи як елементи, так і явне відношення рівності, яке повинно бути еквівалентом. Природно очікувати, що деякі принципи конструктивної математики пробиваються в теорію типів.