Чи може машина з двох лічильників вирішити

Чи може стандартна машина двох лічильників ( ) із наступними інструкціями: $c_1,c_2$

1) ADD 1 to c_i, GOTO label_j
2) IF c_i = 0 GOTO label_j, OTHERWISE SUB 1 to c_i and GOTO label_k
3) GOTO label_j
4) HALT and ACCEPT|REJECT

визначте наступну мову:

L = {n^{2} ∣ n \geq 1}

$L = \{ n^2 \mid n \geq 1 \}$

(вхід спочатку завантажується в лічильник ) ?. $c_1$

Це все ще відкрита проблема? (пор. Річ Шрьопепель, "Дві лічильники машини не можуть обчислити " [1972]) $2^N$

fl.formal-languages counter-automata

— Марціо Де Біасі
джерело

Я намагаюся зрозуміти найбільш важливі результати роботи , і я дійсно здивований арифметична прогресія теорема на сторінці 12. Нехай

є найбільшим непарних дільником

. Тоді якими були б

? Напевно, я десь щось неправильно зрозумів ...

F (N)

$F(N)$

N

$N$

D

$D$

M

$M$

— domotorp

Зараз я погляну на це, але ви впевнені, що "найбільший непарний дільник N" обчислюється 2CM?

— Marzio De Biasi

@domotorp: до речі, я задавав те саме питання і в mathoverflow , але не отримав нових ідей

— Marzio De Biasi

Я думаю, що якщо ви продовжите ділити N на 2, поки не зможете, ви отримаєте найбільший непарний дільник, і це потрібно зробити прямо.

— domotorp

Гаразд, я вважаю, що якщо

(з

непарним) і

є найбільшою потужністю двох більших за

є найбільшою потужністю на дві більше, ніж

, ми можемо встановити

. Неофіційно, якщо

має

біт, ви можете сміливо розширити найзначніший біт

додаючи

N = 2^{k} x

$N = 2^k x$

x

$x$

2^{i}

$2^{i}$

N

$N$

2^{l}

$2^{l}$

x

$x$

D = 2^{i - 1}

$D=2^{i-1}$

M = 2^{l - 1}

$M = 2^{l-1}$

N

$N$

i

$i$

N

$N$

j 2^{i - 1}

$j 2^{i-1}$ і результат зміниться на

j 2^{l - 1}

$j 2^{l-1}$

— Marzio De Biasi

Проблема вирішена в:

Оскар Х. Ібарра, Ніколас Q. Trân, Примітка про прості програми з двома змінними, Теоретична інформатика, Том 112, Випуск 2, 10 травня 1993, Сторінки 391-397, ISSN 0304-3975, http: //dx.doi .org / 10.1016 / 0304-3975 (93) 90028-R .

Нехай - клас мов, розпізнаваний двома лічильниками. $TV$

Теорема 3.3 : Для будь-якого фіксованого цілого числа , $k \geq 2$ $L_k = \{ n^k \mid n \geq 0 \} \notin TV$

Зауважте: дивно, що в статті Ibarra & Tran

Теорема 3.4 Нехай - сумарна функція з нескінченним діапазоном і така, що відношення для всіх не виконується для жодної трійки ; тоді не може бути обчислена жодною машиною з двома лічильниками. $f$ $f(a + bn)=f(a)+cn$ $n \geq 0$ $(a,b,c)$ $f$

Доведено, і автори кажуть, що це було виведено у дещо іншій формі у:

І.М. Барздін, Об одном класі машин Тюрінга (машина Минского), рос., Алгебра и логика 1 (1963) 42-51

але не цитуйте статтю Ріха Шроппеля (1972), в якій також виведена теорема ... :-)

— Марціо Де Біасі
джерело

Я не впевнений, що коли-небудь дивно, що папір двадцятирічного віку не цитується: імовірно, автори про це не знали, а також судді.

— Девід Річербі

@DavidRicherby: Мені було б цікаво побачити, як теорема Шрьоппеля (1972) відрізняється від відповідної у Барздіна (1963) :-) ... але я не маю доступу до документа Барздіна

— Marzio De Biasi