Вдосконалює підхід до "дискретної рішучості Бореля"

Нещодавно Гоуерс окреслив проблему, яку він називає "дискретною рішучістю Бореля", вирішення якої пов'язане з доведенням нижчих меж ланцюга.

1. Чи можете ви надати короткий виклад підходу, пристосованого до аудиторії складних теоретиків?

2. Що потрібно для цього підходу, щоб довести що- небудь , в тому числі відновити відомі нижчі межі?

Дозвольте дати короткий виклад свого розуміння мотивації підходу. Попереджуйте, що я досить новачок у концепції детермінації Бореля, і зовсім не є експертом теорії множин. Усі помилки - це мої. Крім того, я не впевнений, що читати це все набагато краще, ніж читати пости Говерс.

Я думаю, що Говерс має на увазі не є остаточним аналогом теореми детермінації Бореля, а остаточним аналогом наступного: Детермінація Бореля випливає із ZFC, тоді як детермінація аналітичних ігор вимагає існування (по суті) вимірюваних кардиналів. Я дуже коротко охарактеризую, про які ігри ми говоримо і що таке рішучість Borel, а потім я зв'язати це з підходом до доведення нижчих меж. Ідея дуже високого рівня полягає в тому, щоб вважати властивість "дозволяє остаточним аналогом доказу рішучості Бореля працювати" як властивість, яка може відокремити P \ poly від NP.

Ми думаємо про ігри, де два гравці I і II по черзі «грають» в ціле число. Гра триває вічно, тому вони створюють послідовність . Гра визначається виграшним набором A ⊆ N N (тобто набором послідовностей). Якщо x ∈ A, то гравець I виграє, інакше гравець II виграє.$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

Гра визначається, чи гравець I, чи гравець II має виграшну стратегію: спосіб вирішити наступний хід, заснований на грі до цього часу, що гарантує виграш. Чи визначені всі ігри, виявляється, що вони мають інтимний зв'язок з основами теорії множин (це не так, якщо вірити в аксіому вибору). У будь-якому випадку, один простий приклад, коли ігри насправді визначаються, це те, коли відкрито в топології продукту на N N , що є фантастичним способом сказати, що про членство x ∈ A можна визначити, виходячи лише з кінцевої кількості елементів $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. Наприклад, гра, в якій гравця я виграю, якщо вона першою зіграє парне число, відкрита. Іншим простим прикладом визначених ігор є закриті ігри, тобто ігри, де можна визначити на основі кінцевої послідовності x . Закриті ігри - це відкриті ігри з перевернутими ролями гравців.$x \not \in A$$x$

Тепер ми можемо підійти до рішучості Бореля, і відразу після того, як я спробую пов'язати це із схемами та складністю. Множина Бореля - це множина, яка може бути отримана з відкритих і закритих множин шляхом багаторазового застосування чисельної кількості об'єднань і перетинів. Ви повинні розглядати відкриті та закриті множини як основні набори, а множини Бореля як похідні від базових множин, використовуючи кілька рівнів "невеликого" (= лічильного) числа простих операцій на кожному рівні. Виявляється, ви можете довести в ZFC, що множини Borel визначені, і є точний сенс, в якому це найкраще, що ви можете зробити.

Аналогія, яку я думаю, що Говерс малює тут, полягає в тому, що множини Бореля - це як невеликі схеми. У кінцевому світі ми замінюємо "Всесвіт" гіперкубом { 0 , 1 } n . Наші основні множини стають гранями куба: { x ∈ { 0 , 1 } n : x i = b } для b ∈ { 0 , 1 } ; вони еквівалентні буквалам x i та ˉ x$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$. Ви можете писати І і АБО літералів як об'єднання та перетини таких множин. Отже, для булевих функцій , можливість створювати f - 1 ( 1 ) з s об'єднань та перетинів основних множин еквівалентна наявності ланцюга розміру s для f .$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

Дозвольте мені сказати про аналітичні набори. Аналітичний набір - це проекція множини Бореля: якщо - множина Бореля, то T = { x : ∃ y ( x , y ) ∈ S } є аналітичною. За нашою відповідністю між множинами Бореля та функціями малої складності ланцюга аналітичні множини схожі на NP / poly.$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Тепер він черпає натхнення з доказу рішучості Бореля створити властивість (у розумінні Разборова-Рудича) відрізняти функції малої складності ланцюга від функцій великої складності ланцюга. Звичайно, надія полягає в тому, що власність уникає бар'єру із природними доказами.

Доказ Мартіна про рішучість Бореля використовує концептуально дуже акуратний підхід: Мартін показує, що кожна гра Бореля - це зображення відкритої (насправді клопенної) гри під картою , так що $\pi$$\pi$зберігає виграшні стратегії - назвемо це "підйомом". Отже, що показує Мартін, це те, що кожна гра Бореля - це зображення гри, в якій виграшний набір є основним набором. Оскільки відкриті ігри легко визначити, це підтверджує рішучість Бореля. Доказ є індуктивним, оскільки базовий корпус показує, що закриті ігри можна зняти. Важлива частина полягає в тому, що кожен крок індукції "підірває" Всесвіт: позбавлення від одного рівня конструкції набору Borel вимагає підняття гри до гри над Всесвітом, яка по суті є набором енергії Всесвіту оригінальної гри . Цікаво, що це неминуче: набори Borel, для визначення яких потрібно більше рівнів, можна підняти на ігри лише у набагато більших всесвітах. Аналітичні множини вимагають настільки великих всесвітів, що для їх існування потрібні великі кардинальні аксіоми.

Черпаючи натхнення з цього, Гоуерс формулює гру, в якій гравець I та гравець II повинні спільно вказати деякий ; Гравець I виграє, якщо f ( x ) = 1 , інакше гравець II виграє. Гравець я можу вказати координати першої половини, а гравець II другий тайм. Інтуїція тепер полягає в тому, що ігри, що відповідають простому f , тобто f з невеликою складністю ланцюга, повинні дозволяти піднятись у стилі Мартіна до порівняно невеликого всесвіту, як і ігри Бореля. З іншого боку, випадкові f повинні вимагати всесвітів подвійного експоненціального розміру, і, сподіваємось, NP-жорсткий f повинен також, оскільки вони відповідатимуть аналітичним іграм.$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

Дозвольте мені бути трохи більш конкретним щодо того, що таке ліфт у стилі Мартіна, але перевіряйте пости Гоуерса на технічні визначення. Підйомник у стилі Мартіна (в термінології Гоуерса, "Рамзі") - це підйом до гри із зазначенням деякої координати за координатою, де U - Всесвіт і потенційно більший за 2 n , але тепер умова перемоги: дуже просто: переможець гравця I чи II визначається виходячи зі значення одиничної координати y . Як і у доказів Мартіна, ліфт повинен зберігати виграшні стратегії.$y \in U$$U$$2^n$$y$

Надія, що це може уникнути бар'єру природних доказів, ґрунтується на інтуїції, що властивість "має стиль Мартіна піднятися до маленького Всесвіту", ймовірно, не просто обчислити. Але на даний момент не ясно, чи функція паритету має підйом до малого Всесвіту. Я хвилююсь, що відповідна аналогія наборам Бореля може бути функціями в AC0: пошук невеликого підйому для паритету поставив би принаймні те, що турбується перепочити.$f$