Чи означає «Другий X повний NP»? «X є NP повним»?

Проблема "Другий " - це проблема вирішення існування іншого рішення, відмінного від певного рішення для екземпляра проблеми. $X$

Для деяких неповних проблем, друга версія рішення - незавершена (вирішує питання про існування іншого рішення для часткової задачі завершення латинських квадратів), тоді як для інших вона є тривіальною (Другий NAE SAT) або не може бути незавершеною. (Другий гамільтонів цикл у кубічних графах) під загальноприйнятою гіпотезою складності. Мене цікавить протилежний напрямок. $NP$ $NP$ $NP$

Ми припускаємо , природну проблеми , де існує природний ефективний верифікатор , який перевіряє природне цікаве співвідношення , де є екземпляром вхідного і коротким свідченням членства в . Усі свідки не відрізняються від верифікатора. Дійсність свідків повинна визначатися за допомогою природного перевіряльника, і він не знає жодного правильного свідка (обидва приклади в коментарях - це рішення за визначенням). $NP$ $X$ $(x, c)$ $x$ $c$ $x$ $X$

Чи означає «Другий повний NP»? « є NP повним» для всіх «природних» проблем ? $X$ $X$ $X$

Іншими словами, чи є якась "природна" проблема де ця імплікація провалюється? $X$ . Або рівнозначно,

Чи є якась "природна" проблема в і не відомо, що вона є незавершеною, але її друга проблема є незавершеною? $X$ $NP$ $NP$ $X$ $NP$

EDIT : Завдяки коментарям Марціо я не зацікавлений у надуманих контрприкладах. Я зацікавлений тільки в природних і цікавих контрприклад для NP-повних задач , подібних наведеним вище. Прийнятна відповідь є або доказом вищезазначеного наслідку, або зустрічним прикладом "Другої проблеми X", яка визначена для природної, цікавої та добре відомої задачі . $X$ $NP$ $X$

EDIT 2 : Завдяки плідній дискусії з Девідом Richerby, я редагував питання уваги , що мій інтерес тільки в природних проблемах . $X$

EDIT 3 : Мотивація: по- перше, існування такого імплікації може спростити повнота докази багатьох завдань. По-друге, існування імплікації пов'язує складність вирішення унікальності рішення проблеми вирішення існування рішення проблем . $NP$ $NP$ $NP$

cc.complexity-theory unique-solution

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Коментарі не для розширеного обговорення; ця розмова була переміщена до чату .

— Bjørn Kjos-Hanssen

Ваші EDIT 3 та EDIT 1, схоже, не вирівнюються. Якщо ви хочете, щоб це було загальним результатом, корисним для спрощення доказів повноти NP, ви також не можете сказати, що ви хочете лише "не надумані" зустрічні приклади. Крім того, було б корисно мати визначення "природного / цікавого", яке не грунтувалося на особистої думки.

— Кріс Джефферсон

Відповіді:

Ні,

Розглянемо проблему "Знайти підмножину набору цілих чисел S, яка дорівнює 0".

Ця проблема є тривіальною, оскільки можна повернути порожній набір.

Однак пошук другого рішення після повернення порожнього набору є відомою проблемою суми підмножини, яка, як відомо, є NP-завершеною.

— Кріс Джефферсон
джерело

Якщо ви не можете визначити "неприродну" проблему, це не має значення. Люди визначають сотні варіантів проблем, як сума підмножини та SAT.

— Кріс Джефферсон

@Mohammad: Ось ще один зустрічний приклад; Я залишаю це вам вирішити, природно це чи ні. У грі біматрикс завжди є хоча б одна рівновага Неша, і важко визначити, чи є у біматричній грі більше однієї рівноваги Неша [Gilboa and Zemel, GEB 1989] . Конструкція приймає формулу SAT f і виробляє гру з певною рівновагою Неша відомої форми, яка завжди існує, так що гра має другу рівновагу, якщо формула f є задоволеною.

— Рахул Савані

Ось ще один зустрічний приклад, одновимірна версія лемми Спернера, яка за духом схожа на ту, яку пропонує Рахул. Дано булеву схему, що обчислює функцію

(вхід подається у двійковій формі) з обіцянкою, що

, знайдіть число

f : {0, 1, 2, \dots, 2^{n} - 1} \to {0, 1}

$f : \{0,1,2,\ldots,2^n-1\} \to \{0,1\}$

f (0) = 0

$f(0) = 0$

f (2^{n} - 1) = 1

$f(2^n-1)=1$

k

$k$ такий, що

. Таке число завжди існує і його легко знайти за допомогою бінарного пошуку, але важко визначити, чи існує більше одного такого положення, де це відбувається.

f (k) = 0

$f(k) = 0$

f (k + 1) = 1

$f(k+1) = 1$

— Роберт Ендрюс

NP завершений не означає, що всі екземпляри важкі, лише деякі є. Існує багато тривіальних випадків сукупності підмножини (всі проблеми, які містять, наприклад, 1 і - 1), і багато простих проблем SAT (наприклад, 2 SAT), але SAT в цілому все ще є NP-завершеним.

— Кріс Джефферсон

Відповідь повинна бути підмножиною набору цілих чисел S. {} - це підмножина S, оскільки порожній набір - це підмножина всіх безлічі. {ϕ} не є підмножиною S, так як S не містить ϕ

— Кріс Джефферсон

Відповідь - так (якщо замість скорочення Карпа використовується скорочення ASP). Скорочення ASP потребує обчислюваного бінокуляції в поліномі в часі між наборами рішення двох завдань. Це забезпечує суттєве скорочення проблем, повних ASP. Ято і Сета стверджують, що -комплектність передбачає -комплектність (Сторінка 2, другий абзац). Ще одна проблема вирішення (ASP) - це саме те, що я називаю проблемою Second X. $ASP$ $NP$

Одід Голдрайх констатує той факт, що "всі відомі скорочення природних проблем, пов'язаних з є або парсимонічними, або можуть бути легко модифіковані таким чином". ( Складність обчислень: концептуальна перспектива Одіда Голдрейха ). Отже, правдоподібно, що скорочення Карпа між природними проблемами, повними NP, може бути змінено на скорочення ASP. $NP$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Ваша проблема полягала в тому, чи NP-повнота другого рішення передбачає NP-повноту. Те, що вони показують слабкіше, їм потрібна повнота ASP, оскільки NP-повноти недостатньо, як зазначено в коментарях до вашого питання.

— domotorp

Якщо хтось читає це, ця відповідь неправильна. Легко створити проблему, коли Другий X є NP-повним, але X не є NP-повним. Наприклад (як обговорювалося в коментарях вище), проблема пошуку підмножини набору цілих чисел, яка дорівнює 0, є другим X NP-повним, оскільки це NP-повне, коли ми відкидаємо просте перше рішення порожнього набору .

— Кріс Джефферсон

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

— Ніколов

Хтось дещо дивно задати питання, відповісти на нього, а потім прийняти його, поки триває дискусія.

— Чандра Чекурі

@ MohammadAl-Turkistany У моєму коментарі було сказано, що ваша відповідь, схоже, набрала логіку назад, і не відповідає на ваше власне питання. Я нічого не сказав про приклад Кріса (що мені здається чудово, але я не хочу вникати в цей аргумент у коментарях).

— Ніколов