Чи майже-2-SAT NP-важкий?

10

Чи складно NP NP-задачу CNF, коли загальна кількість (але не ширина) 3-х чи більше-строкових пропозицій обмежена вище постійною? А що конкретно, коли існує лише одне таке застереження?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
джерело

8

Якщо є тільки одна така стаття більш ніж 2 терміни, вирішуючи такі формули тривіально в . Якщо має термінів, спробуйте кожне з часткових призначень, що задовольняють , а потім розв’яжіть решту формул 2-SAT, використовуючи відомий метод лінійного часу. Врешті-решт, ви знайдете рішення для всієї формули або докажете, що вона незадовільна за час , де не може перевищувати кількість змінних у всій формулі.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Кайл Джонс

@KyleJones Але одна пропозиція з літералами має

задовольняє завданням, а не просто

. Оскільки

не обмежений у питанні, такий підхід дає алгоритм експоненціального часу.

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— Девід Річербі

2

@DavidRicherby Щоб задовольнити пункт, вам потрібно зробити так, щоб один з літералів оцінив істину. Після цього статтю можна ігнорувати, і у вас залишилася лише 2-SAT формула.

літерали означає, що вам потрібно лише спробувати

завдання.

k

$k$

k

$k$

— Кайл Джонс

14

Варто зазначити, що проблема стає NP-жорсткою, коли обмеження трохи послаблене.

Із фіксованою кількістю пропозицій, які також мають обмежений розмір, середня кількість буквених знаків у пункті наближається до 2, як хочеться, розглядаючи екземпляр з достатньою кількістю змінних. Як ви зазначаєте, тоді є проста верхня межа, яка є многочленом, якщо розмір пропозиції обмежений.

На противагу цьому, якщо середня кількість буквених значень на одну статтю становить щонайменше для деяких фіксованих (але довільно малих) , то проблема є NP-жорсткою. $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

Це можна показати, зменшивши 3SAT до цієї проблеми, ввівши нові пункти з двома буквами, які тривільно задовольняються. Припустимо, в екземплярі 3SAT є ; щоб зменшити середній розмір пропозиції до , досить додати нові пропозиції з двома буквами. Оскільки є фіксованим та позитивним, новий екземпляр має поліноміальний розмір. $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

Це зменшення також показує, що навіть версія, де «великі» пропозиції обмежені 3 буквами, є важкою для NP.

Залишився випадок, коли кілька великих застережень не мають обмеженого розміру; кожен великий пункт, здається, ускладнює проблему. Дивіться документ SODA 2010 P bytraşcu та Williams про випадок двох пунктів: вони стверджують, що якщо це можна зробити в підквадратичний час, тоді у нас були б кращі алгоритми для SAT. Можливо, буде розширено їх аргумент на більше застережень, які б свідчать про те, що верхня межа не може бути покращена (модуль якоїсь форми експоненціальної гіпотези часу).

— Андраш Саламон
джерело

лише тангенціально пов'язані, але є нещодавній документ ECCC, який формулює "майже 2-SAT" по-іншому і доводить сильну твердість: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Ніколов

8

Добре. Я зрозумів. Відповідь - ні. Це можна вирішити за багато разів. Для кожного 3-або більше-строкового пункту виберіть буквальне значення та встановіть його як істинне. Потім розв’яжіть задачу, що залишилася 2-sat. Якщо хтось із них пропонує рішення, то це вирішення загальної проблеми. Оскільки кількість 3-або більше-строкових пропозицій є фіксованим (скажімо, с), то якщо всі такі пропозиції мають розмір <= m, то це працює в O (m ^ (c) * n). O (m ^ c) для проходження кожного можливого вибору, раз O (n) для вирішення решти задачі, що залишилася 2-sat.

— dspyz
джерело

m

$m$

Так є, тому що m неявно обмежена кількістю атомів. Очевидно, що в пункті не може бути більше літералів, ніж в атомі проблеми. Можливо, я мав би уточнити m <= n

— dspyz