Co-NP-повнота мінімального туру TSP?

Ця проблема виникла з моєї недавньої публікації в блозі , припустимо, вам приділяється екскурсія TSP, чи є вона спільною NP для визначення того, чи є вона мінімальною?

Більш точно є наступна проблема NP-завершена:

Екземпляр: Дано повний графік G з ребрами, зваженими додатними цілими числами, і простим циклом C, який відвідує всі вузли G.

Запитання: Чи існує простий цикл D, який відвідує всі вузли G таким чином, що загальна вага всіх ребер D у G суворо менша від загальної ваги всіх ребер С у G?

Ескіз можливого скорочення, щоб довести, що він є повним NP.

Неофіційно він починається з модифікованої формули 3SAT, яка використовується для того, щоб показати, що 3SAT є ASP-повним (ще одна проблема рішення), і "слідує" за стандартною ланцюгом скорочень 3SAT => НАПРЯМОГО ХАМКЛИКА => НЕПРЯМАНОГО ГАМИЦИЛУ => TSP

• Почнемо з 3SAT формули з п змінних х 1 , . . . х п і м caluses C 1 , . . . , С м ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Переведіть його на нову формулу додавши нову змінну t ...;$\varphi'$$t$
• ... і розширення кожного пункту до ( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t ) ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• З побудуйте графік структури алмазів G = { V , E }, який використовується для доведення, що НАПРЯМОГО ГАМИЛТОНСЬКОГО ЦИКЛУ НП-повний; припустимо, що кожному пункту C j відповідає вузол N j в G ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Змініть на графік G ′ = { V ′ , E ′ }, замінюючи кожен вузол u трьома пов'язаними вузлами u 1 , u 2 , u 3 та модифікуйте ребра відповідно до стандартного зменшення, що використовується для доведення NP-повноти НЕПІРЕКТИРОВАНОГО ГАМИЛТОНСЬКОГО ЦИКЛУ від ПРЯМОГО ГАМИЛТОНСЬКОГО ЦИКЛУ, тобто u 1 - вузол, що використовується для вхідних ребер, u 3 - вузол, що використовується для вихідних ребер;$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Перетворіть непрямий екземпляр HAMILTONIAN CYCLE з в екземпляр TSP T, в якому всі ребра G ' мають вагу w = 1 , за винятком (унікального) краю в алмазі, що йде на "позитивне" призначення t, що має вагу w = 2 (червоний край на малюнку нижче); нарешті краї, додані для отримання G ', мають вагу w = 3 .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Зрозуміло, що екземпляр TSP має простий цикл, який відвідує всі вузли, що відповідає задовольняючому призначенню φ ′, в якому t = t r u e (і цей тур може бути легко побудований у поліноміальний час), але він має загальну вагу | V ' | + 1 (тому що використовується ребро, яке відповідає призначенню t = t r u e, яке має вагу 2). T має ще один простий цикл , який відвідує всі вузли з меншим загальною вагою | V ' $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$якщо і лише тоді, коли край ваги що відповідає призначенню t = t r u e , не використовується; або рівно, якщо і лише за наявності іншого задовольняючого призначення φ ′, в якому t = f a l s e ; але це може бути правдою тоді і лише тоді, коли початкова формула φ є задоволеною.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Я подумаю більше про це, і напишу офіційне підтвердження (якщо воно не виявиться неправильним :-). Повідомте мене, якщо вам потрібні додаткові подробиці щодо одного або декількох вищезазначених уривків.

Як зазначає domotorp, цікавим наслідком є ​​те, що наступна проблема не є повною NP: Враховуючи графік та гамільтонів шлях у ньому, чи має G гамільтонів цикл?$G$$G$

Papadimitriou & Steiglitz (1977) показали NP-повноту цієї проблеми.