Кількість штатів місцевих автоматів

Детермінований автомат називається k -локальним для k > 0, якщо для кожного w ∈ X k множина { δ ( q , w ) : q ∈ Q } містить щонайбільше один елемент. Інтуїтивно це означає, що якщо слово w довжини k призводить до стану, то цей стан є унікальним або сказане інакше від довільного слова довжини$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$ останні k символи визначають стан, до якого він призводить.$> k$$k$

Тепер, якщо автомат є -локальним, тоді він не повинен бути k ′ -локальним для деякого k ′ < k , але він повинен бути k ′ -локальним для k ′ > k, викликаючи останні символи якогось слова | ш | > k визначають стан, якщо він є, однозначно.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Зараз я намагаюся з'єднати кількість станів і -місткість автомата. Я здогадуюсь:$k$

Лема: Нехай є k -локальним, якщо | Q | < k тоді автомат також є | Q | -локальний.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Але мені не вдалося довести, будь-які пропозиції чи ідеї?

Я сподіваюся , що з допомогою цієї леми , щоб отримати що - то про кількість станів автомата, що не -local для всіх до ≤ N при фіксованому N > 0 , але до -local для деяких до > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Оскільки ви говорите, що повинен мати щонайменше один елемент, я вважаю, що ви використовуєте версію DFA, де δ може бути частковою. Тоді це контрприклад: X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ при q < 4 , а δ ( 1 , b ) = 2 , δ ( 2 , b ) = 3 , δ ( 4 , b ) = 0 . F і q 0 для цього питання очевидно не мають значення.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

Автомат дорівнює -локальному, але не 5 -локальному, оскільки T a b a a b = { 0 , 3 } .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Редагувати: цей контрприклад не працює, я зберігатиму його так, щоб коментарі мали сенс. Однак наступне робить.

Візьміть , з переходами 0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( б ) . У цьому автоматі $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-локальні, але не -локальні: для a a b a отримуємо шляхи 0 → 1 → 2 → 0 → 1 та 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , тобто T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Пізня відповідь, але обмежена затримка синхронізації була вивчена для декількох класів автоматів: див., Наприклад, Однозначні автомати; Беал та ін. MCS'08 .

Зокрема; є сімейство детермінованих автоматів, які мають затримку як показано в " Про межі затримки синхронізації локального автомата"; Беал та ін. TCS'98 , що відповідає верхній межі відповідної O ( | Q | 2 ) .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS затримка синхронізації, визначена в роботі, є мінімальним для якого детермінований локальний автомат є k -локальним.$k$$k$