Чи існує звичайна мова дерева, в якій середня висота дерева розміром не є ні ні ?

Ми визначаємо звичайну мову дерев, як у книзі TATA : Це набір дерев, прийнятих недетермінованим кінцевим автоматичним деревом (глава 1), або, що еквівалентно, набір дерев, породжених звичайною граматикою дерев (глава 2). Обидва формалізму мають велику схожість з відомими струнними аналогами.

Чи існує звичайна мова дерева, в якій середня висота дерева розміром не є ні ні ? $n$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

Очевидно, є такі дерева дерев, що висота дерева лінійна за своїми розмірами; а в книзі « Аналітична комбінаторика» показано, наприклад, що двійкові дерева розміром мають середню висоту . Якщо я правильно розумію пропозицію VII.16 (с.537) згаданої книги, то існує широкий підмножина регулярних мов дерев із середньою висотою , а саме тих, у яких мова дерева також є простим сортом дерев, що виконують деякі додаткові умови. $n$ $2\sqrt{ \pi n}$ $\Theta(\sqrt{n})$

Тож мені було цікаво, чи існує звичайна мова дерев, що показує різну середню висоту, чи є справжня дихотомія для звичайних мов дерев.

Примітка. Це питання було задано раніше в галузі комп’ютерних наук , але на нього не було відповіді більше трьох місяців. Я хотів би перекласти це тут, тому що питання занадто старе для міграції та тому, що питання все ще є зацікавленим. Ось посилання на оригінальну публікацію.

— john_leo
джерело

Одне дерево з постійною глибиною є очевидною відповіддю: o (\ sqrt {n}), але не . Я вважаю, ви, мабуть, мали на увазі ще якесь питання? Може замінити на ?

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Джозеф Стек

Так і ні. Я думаю, що звичайна мова дерева із середньою глибиною (скажіть) також була б дуже цікава. Але ви маєте рацію в тому, що нам слід виключити такі вироджені випадки. Може, нам слід вимагати, щоб мова дерева містила нескінченно багато елементів?

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

— john_leo

Які дерева ви маєте на увазі? Дерева з рангом, необроблені дерева, упорядковані побратимами, необроблені не упорядковані дерева; і, до речі, про які деревні автомати ви маєте на увазі, знизу вгору чи згори вниз?

— fh

@JosephStack, як висота звичайного дерева може бути нескінченною? Дерево з вузлами не може мати висоту більше .

n

$n$

n

$n$

— john_leo

@Raphael: Якщо ви не враховуєте , мені незрозуміло, яким би було питання. Відповідь "чи існує нескінченна регулярна мова дерева такою, що середня висота є функцією з і " очевидно, так: переконайтеся, що для непарних вас є і парні . PS кожна функція, яку я можу уявити, належить до для деякого , тому це неправильне виправлення :)

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

— Джозеф Стек

Я вважаю, що відповідь така, як ви припускаєте, що ніякі інші асимптотики, крім , та , неможливі. Перспективним способом довести це може бути застосування методів з документа, який походить з асимптотики до запущених дерев звичайної мови. Зауважте, що дерево прийняте, якщо існує дерево запуску, тому слід спершу отримати (використовуючи loc.cit. ) Середню висоту випадково генерованого дерева запуску та взяти його звідти, тобто показати, що проектування геть штатів робить не змінювати середню висоту. $\Theta(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

— Мартін Гофман
джерело

Я думаю, що це коментар, а не відповідь, оскільки далеко не зрозуміло, що ця спроба спрацьовує.

— Денні