Еквівалентність перевірки доцільності та оптимізації для лінійних систем

Один із способів показати, що перевірка доцільності лінійної системи нерівностей настільки ж важка, як і лінійне програмування шляхом зменшення, що задається еліпсоїдним методом. Ще простішим способом є здогадування оптимального рішення та введення його як обмеження за допомогою двійкового пошуку.

Обидва ці скорочення є многочленними, але не сильно поліноміальними (тобто залежать від кількості бітів у коефіцієнтах нерівностей).

Чи є сильно поліноміальне скорочення від оптимізації LP до здійсненності LP?

ds.algorithms linear-programming

— Суреш Венкат
джерело

насправді ні. Це, як ви кажете. Я усвідомлюю, що оптимізація LP вирішує доцільність LP. Я прошу протилежне зменшення.

— Суреш Венкат

Ну, вихід для оптимізації може мати стільки бітів, скільки «кількість бітів у коефіцієнтах», тоді як здійсненність - так / ні. Таким чином, якщо під скороченням ви маєте на увазі щось "чорний ящик", то відповідь повинна бути негативною.

— Ноам

Але, якщо перевірка техніко-економічного обгрунтування не лише дає відповідь "так / ні", як обговорювалося Ноамом вище, а, скоріше, у випадку здійсненності можливого рішення, тоді відповідь - так, подвійність LP.

— Крістофер Арнсфельт Хансен

@SureshVenkat: Припустимо, що прима є програмою максимізації змінних

, при цьому подвійний є програмою мінімізації змінних

. Потім сформуйте систему нерівностей у змінних

, беручи обмеження як з первинного, так і з подвійного, разом з нерівністю, що свідчить про те, що значення первинного рішення є принаймні значенням подвійного рішення. Випадки LP можуть бути нездійсненними та необмеженими.

x

$x$

y

$y$

x, y

$x,y$

— Крістофер Арнсфельт Хансен

Що щодо багатогранників / багатогранників, визначених неявними обмеженнями?

— Чандра Чекурі

Відповідь "так", і насправді можна навіть звести до вирішення проблеми виконання лінійних нерівностей!

Ми як вхідний дані екземпляр LP P: . $\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

Крім того, ми маємо доступ до оракула, який, даючи системі нерівностей повертає так / ні, чи здійсненна система. $S=\{Bz \leq d\}$

Зараз зменшення відбувається наступним чином:

$S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
$\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
$S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
$S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
$S_3$ $x$

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

S_{2}

$S_2$

P

$P$

@hengxin. У першому рядку моєї відповіді написано, що відповідь "так", навіть якщо розглядати питання щодо вирішення проблеми. Нижче я очевидно роблю це припущення, а значить, кроки 4 та 5 необхідні.

— Крістофер Арнсфельт Хансен