Максимальний неперервний набір: який фактичний коефіцієнт наближення жадного алгоритму?

Розглянемо проблему пошуку максимального розрізненого набору - максимального набору геометричних фігур, що не перекриваються, із заданої колекції кандидатів. Це проблема, повна NP, але у багатьох випадках наступний жадібний алгоритм дає наближення постійного фактора:

Для кожної форми кандидата x обчисліть її пересічне число перетину = найбільша кількість непересічних фігур, які перетинаються x . $DIN(x)$
Виберіть форму кандидата з найменшим DIN ( ). Видаліть його і всі форми, які він перетинає. $\arg \min_{x} DIN(x)$
Продовжуйте, поки не залишиться більше кандидатів.

Наприклад, розглянемо наступну фігуру зі сторінки Вікіпедії:

введіть тут опис зображення

Зелений диск перетинає 5 інших дисків, але його DIN - 3 (3 червоних диска роз'єднані). Найбільш верхній і нижній червоний диски перетинають два інші диски, але вони самі перетинаються, тому їх DIN становить 1. Жовті диски мають DIN 2. Таким чином, жадібний алгоритм вибирає, таким чином, верхній або нижній червоний диск.

Якщо мінімальний DIN може бути обмежений постійною, то жадібний алгоритм є наближенням поліноміального постійного фактора.

Наприклад, якщо всі форми кандидата є одиничними дисками, Marathe et al (1995) показують, що диск з DIN щонайменше 3 завжди існує: крайній лівий диск (диск з найменшою координатою x) перетинається щонайменше з 3 іншими роз'єднаними дисками . Тому жадібний алгоритм дає 3-наближення, оскільки він отримує 1 диск на кожному (щонайбільше) 3 дисках в оптимальному рішенні.

Аналогічно, якщо всі форми кандидата є дисками довільного розміру, жадібний алгоритм дає 5-наближення, оскільки найменший диск перетинається щонайбільше з 5 інших роз'єднаних дисків, тобто мінімальний DIN становить не більше 5.

Поки що добре, але чи є ці фактори 3 і 5 чіткими? Я не впевнений.

Розглянемо малюнок вище. Вибравши крайній лівий диск (зелений), ви знайдете роз'єднаний набір розміром 1, який справді є 3-наближенням до максимального роз'єднаного набору розміру 3 (червоний), але жадібний алгоритм не вибере зелений диск - він вибере верхній / нижній червоний диск, DIN якого дорівнює 1. У цьому випадку жадібний алгоритм знайде оптимальне рішення.

Я не зміг знайти зустрічний приклад для загального , в якому жадібний алгоритм знаходить нерозбірливий набір з одиничних дисків, тоді як максимальний набір роз'єднаних має . Насправді я навіть не міг побудувати загальний зустрічний приклад, у якому мінімальний DIN насправді 3. Найкраще, що я міг би придумати, це наступне, в якому кожен одиничний диск перетинається щонайбільше 2 інших роз'єднаних дисків (тобто мінімальний DIN є 2). Але навіть тут жадібний алгоритм знаходить оптимальне рішення, а не 2-наближення: $n$ $n$ $3n$

введіть тут опис зображення

Мої запитання:

Який фактичний max min DIN у колекціях блоків дисків? Диски довільного розміру?
Який фактичний коефіцієнт наближення жадного алгоритму для колекцій одиничних дисків? Для дисків довільного розміру? (цей коефіцієнт щонайбільше такий, як максимум мінімального DIN, але може бути і меншим).

ОНОВЛЕННЯ: Для кожного k-кортежа фігур, , визначте = найбільша кількість непересічних фігур, що перетинаються їх об'єднанням . Визначте як мінімальний DIN для всіх k-кортежів суміжних форм. $x_1,...,x_k$ $DIN(x_1,...,x_k)$ $x_1\cup...\cup x_k$ $minDIN_k$

Наприклад, у відповіді Юрія нижче , оскільки кожне коло перетинає 3 інші кола. , тому що можна вибрати 2 роз'єднані кола, одне із зовнішнього кола та одне із внутрішнього, що разом перетинаються лише 4 іншими колами. Для кожного , . $minDIN_1=3$ $minDIN_2=4$ $k$ $minDIN_k\leq k+2$

Я думаю, що коефіцієнт наближення жадного алгоритму може бути обмежений , тому що для кожної форми в оптимальному рішенні ми маємо принаймні фігури у виході алгоритму. Це правильно? $\frac{minDIN_k}{k}$ $minDIN_k$ $k$

EDIT: Я зараз читаю чудову книгу « Проблеми дослідження дискретної геометрії» . Хоча я не знайшов цю точну проблему, я виявив проблему, яка виглядає пов'язаною. У розділі "2,5 тонких упаковки з багатьма сусідами" наведено приклади кругових упаковок, в яких кожне коло торкається 5 інших кіл. Цікаво, чи така упаковка може отримати конфігурацію кіл з DIN = 5.

cg.comp-geom

— Ерел Сегал-Халеві
джерело

Може бути цікаво відзначити, що обчислення DIN може бути настільки ж важким, як і обчислення самого максимального незалежного набору. Наприклад, у випадку дискових графіків (а не одиничних графіків дисків) можна додати великий диск, що перетинає всі інші об'єкти в розташуванні; обчислення його DIN відповідає обчислюванню максимально незалежного набору в оригінальній схемі.

— Барт Янсен

@BartJansen Щоправда, але жадібному алгоритму насправді не потрібно обчислювати DIN для кожної форми - потрібна лише форма з мінімальним DIN. Оскільки мінімальний показник DIN становить не більше 5 (у випадку дисків довільного розміру), він повинен лише перевірити всі підмножини, що мають щонайбільше 6 дисків, і побачити, чи не є один з них незалежним. Це можна зробити в часі для кожної форми.

O (n^{6})

$O(n^6)$

— Ерел Сегал-Халеві

Для вашого останнього питання - так, це правильно.

— domotorp

Який фактичний максимальний мінімум DIN у колекціях блоків дисків?

Це 3. введіть тут опис зображення

— Юрій
джерело

Тут розміщено 32 одиничні диски, розташовані в 2 рівні по 16. Кожен диск перетинає 3 роз'єднані диски - 2 на своєму рівні та 1 на іншому рівні. Але жадібний алгоритм все одно знайде оптимальне рішення з 16 дисками.

— Ерел Сегал-Халеві

Так, це відповідає лише на 1/4 запитання :-)

— Юрій