Як перевірити, чи число є досконалою силою в поліноміальний час

23

Перший крок алгоритму тестування первинності AKS - перевірити, чи є вхідне число ідеальною потужністю. Здається, що це добре відомий факт теорії чисел, оскільки документ не пояснив його детально. Може хтось скаже мені, як це зробити в поліноміальний час? Спасибі.

ds.algorithms nt.number-theory

— yzll
джерело

7

Перший крок алгоритму AKS - перевірити, чи є вхідне число ідеальною потужністю (число форми

для деяких цілих чисел c, n> 1), що відрізняється від перевірки, чи є число простий потужністю. Тест на ідеальну потужність - вправа 9.44 книги, цитованої у статті ( Сучасна комп’ютерна алгебра фон Зура Гетхена та Герхарда, 2003). Я не читав книгу і не знаю відповіді, але ви порадилися з книгою?

c^{n}

$c^n$

— Цуйосі Іто

1

Я вважаю, що перший крок AKS перевіряє, чи число є силою якогось натурального цілого, а не обов'язково простим. Якби було відомо, як перевірити основну потужність у поліноміальний час перед АКС, це вже дало б тестер первинності часу полінома.

— arnab

@Tsuyoshi Дякую за вказівку на мою помилку. Я не звертався до книги.

— yzll

2

Якщо ви хвилюєте питання , будь ласка, спробуйте вирішити проблему перед тим, як опублікувати її.

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi / arnab, можливо, вам слід переписати як відповіді, щоб це можна було прийняти?

— Суреш Венкат

31

Дано число n, якщо воно взагалі може бути записане у (b> 1), то . І для кожного фіксованого перевірку, чи існує з можна здійснити за допомогою двійкового пошуку. Тому загальний час роботи - . $a^b$ $b < \log(n) + 1$ $b$ $a$ $a^b = n$ $O(\log^2 n)$

— Рампрасад
джерело

5

Відповідь Рампрасада залишає час виконати експоненцію, яка є

. Інший спосіб - вибрати

а потім обчислити

й корінь

який би мав загальний час

.

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

b

$b$

b

$b$

n

$n$

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

— Девід Маркіз

1

Просте вдосконалення, яке додатково видаляє

коефіцієнт

лише вибраним простим

.

\log \log n

$\log \log n$

b

$b$

— Чао Сю

16

Див. Бах і Соренсон, алгоритми Сіта для досконалого випробування потужності, Algorithmica 9 (1993), 313-328, DOI: 10.1007 / BF01228507, і DJ Bernstein, Виявлення досконалих потужностей в принципі лінійного часу, Math. Склад. 67 (1998), 1253-1283.

— Джефрі Шалліт
джерело

Існує також подальший документ з покращеним асимптотичним часом роботи та більш простим лікуванням: DJ Bernstein, HW Lenstra Jr. та J. Pila, виявлення досконалих повноважень за допомогою факторингу на coprimes, Math. Склад. 76 (2007), 385–388.

— Ерік Вонг

3

Я знайшов цікаве та елегантне рішення у статті: Про впровадження тесту первинності класу AKS, Р.Крандалл та Дж. Пападопулос, 18 березня 2003 року.

— Пломб
джерело

2

Якось я можу показати, що алгоритм двійкового пошуку - . $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

По-перше, , є . Алгоритм бінарного пошуку: для кожного ми використовуємо двійковий пошук, щоб знайти . $a^b = n$ $b<lg~n$
$b$ $a$

Кожен раз, коли обчислення коштувало операцій, використовуючи швидку експоненцію . Тому решта питання - це діапазон . $a^b$ $lg~b = lg~lg~n$ $a$

Якщо - максимально можливе значення , то двійковий пошук потребує операцій $A$ $a$ $lg~A$

Зауважимо, що , тобто $b~lg~a = lg~n$ Під час підбиття підсумків

l g A = \frac{l g n}{b}

$lg~A = \frac{lg~n}{b}$

\sum л г А = л г н \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{Б}) = л г н \cdot л г Б = л г н \cdot л г л г н

$\sum lg~A = lg~n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{B}) = lg~n \cdot lg~B = lg~n \cdot lg~lg~n$

$O(lg~n \cdot lg~lg~n)$

$a^b$ $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

ps: Всі lg є базовою 2.

Код Python:

#--- a^n ---------------------------------------
def fast_exponentation(a, n):
    ans = 1
    while n:
        if n & 1 : ans = ans * a
        a = a * a
        n >>= 1
    return ans
#------------------------------------------
# Determines whether n is a power a ^ b, O(lg n (lg lg n) ^ 2)
def is_power(n):
    if (- n & n) == n: return True  # 2 ^ k
    lgn = 1 + ( len( bin ( abs ( n ) ) ) - 2)
    for b in range(2,lgn):
        # b lg a = lg n
        lowa = 1L
        higha = 1L << (lgn / b + 1)
        while lowa < higha - 1:
            mida = (lowa + higha) >> 1
            ab = fast_exponentation(mida,b) 
            if ab > n:   higha = mida
            elif ab < n: lowa  = mida
            else:   return True # mida ^ b
    return False

— Кевін
джерело