Методи показу, що проблема полягає в твердості "кінцівки"

Враховуючи нову проблему в , справжня складність якої знаходиться десь між і не є повною NP, я знаю два методи, які можуть бути використані, щоб довести, що вирішити це важко: $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

Покажіть, що проблема є GI-повною (GI = Ізоморфізм графіка)
Покажіть , що проблема полягає в . За відомими результатами такий результат означає, що якщо проблема не завершена NP, то PH руйнується до другого рівня. Наприклад, відомий протокол для Graph Nonisomorphism робить саме це. $\mathsf{co-AM}$

Чи використовуються інші методи (можливо, з різними "сильними переконаннями")? Для будь-якої відповіді потрібен приклад того, де воно було використано насправді: очевидно, що існує багато способів спробувати показати це, але приклади роблять аргумент більш переконливим.

— Суреш Венкат
джерело

Якщо проблема здається достатньо важкою, але ви не в змозі довести, що це NPC, швидка перевірка полягає у підрахунку кількості рядків довжиною n мовою: якщо набір рідкий, навряд чи це буде NPC (інакше P = NP по теоремі Махені) ... тому краще спрямувати зусилля на доведення того, що це є в P :-) :-) Приклад з блогу Fortnow & Gasarch : {(n, k): існує спосіб поділу { 1, ..., n} у максимум k коробки, щоб жодна коробка не мала x, y, z з x + y = z}

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi звучить як відповідь на мене.

— Сашо Ніколов

До такої демонстрації є дві частини: показ складності розміщення проблеми в BPP та показник складності розміщення проблеми в класі NP-complete.

$\:$ (Нагадаємо, що GI-повнота просто означає "є в GI і є GI-жорстким".)

$\;\;\;$

+1 для Рікі Демера; ми можемо захотіти скласти список методів для першої частини.

— Птероміс

Для проблем у FNP без очевидних версій рішення в NP, PPAD є корисним (і зростаючим) класом для розгляду. Проблеми, пов'язані з ППАД, включають багато проблем щодо пошуку фіксованих точок, наприклад, рівноваги Неша. Список Шиви корисний: cs.princeton.edu/~kintali/ppad.html

— Андраш Саламон

Відповіді:

Показати, що ваша проблема в coAM (або SZK), справді є одним з головних способів приведення доказів "твердості кінцівки". Але крім цього, є ще кілька:

Покажіть, що ваша проблема в NP ∩ coNP. (Приклад: факторинг.)
Покажіть, що ваша проблема вирішується за квазіполіномічний час. (Приклади: розмір VC, наближений до безкоштовних ігор.)
Покажіть, що ваша проблема не складніше, ніж перевернути односторонні функції або вирішити NP в середньому. (Приклади: безліч проблем у криптографії.)
Покажіть, що ваша проблема зводиться до (наприклад) Унікальних ігор або розширень з невеликим набором.
Покажіть, що ваша проблема в BQP. (Приклад: факторинг, хоча, звичайно, це також є у NP ∩ coNP.)
Виключають великі класи зменшення повноти NP. (Приклад: Проблема мінімізації ланцюга, вивчена Кабанцем та Каєм.)

Я впевнений, що є й інші, про які я забуваю.

— Скотт Ааронсон
джерело

Це відмінний список, Скотт!

— Суреш Венкат

Просто цікаво ... яка з цих методик показує, що проблема навряд чи може бути вирішена в поліноміальний час (або RP, або BPP)? Я не бачив жодного, що, здавалося б, це робив.

— Філіп Уайт

Філіп: Ти маєш рацію, вони ні. Для отримання доказів того, що певна проблема НП не є в P, все це зводиться до (1) спроби поставити її в P і відмови, та / або (2) зменшення інших проблем, які люди не змогли поставити в P до цієї проблеми.

— Скотт Ааронсон

$n$

Прикладом є проблема розподілу номерів на k-скриньки (з блогу Fortnow & Gasarch, оригінальне джерело: Cyberpuzzles Doctor Ecco ):

$\{ (n,k) \mid \text{ there exists a way to partition }$ $\{1,...,n\} \text{ into at most k boxes so that no box has } x,y,z \text{ with } x+y=z \}$

— Марціо Де Біасі
джерело

Ось три доповнення до списку Скотта:

Покажіть вашу проблему в декількаР. Це означає, що кількість розчинів обмежена деяким многочленом. (Приклад: Проблема Turnpike). Невідомо, що жодна проблема з повним рівнем NP не існує в кількохР. (неможливо, якщо малоP = NP).
$LOGNP$ $NP[log^2n]$
$2^{n^{\epsilon}}$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

$coNP ⊆ NP/poly$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Або навіть в UP (не тільки FewP)!

— Джошуа Грохов