Вибрати в об'єднанні відсортовані масиви: Вже відомо?

Я шукаю бібліографічні посилання на такий алгоритм / проблему: я назвав його "BiSelect" або "t-ary Select" або "Select in Union of Sorted Arrays", але я думаю, що він був введений раніше під іншою назвою?

Проблема

Розглянемо наступну проблему:

Враховуючи неперервані відсортовані масиви A 1 , … , A k відповідних розмірів n 1 , … , n k та ціле число t ∈ [ 1 .. ∑ n i ] , яке t -ве значення їх відсортованого об’єднання ∪ i A i ?$k$$A_1,\ldots, A_k$$n_1,\ldots,n_k$$t\in[1..\sum n_i]$$t$ $\cup_i A_i$

Рішення

k = 2 k = 2 A 1 [ t / 2 ] A 2 [ t / 2 ] A 1 [ t / 2 .. t ] A 2 [ 1. t / 2 ] A 1 [ 1 .. t / 2 ] A $O(\lg\min\{n_1,n_2,t\})$$k=2$$k=2$$A_1[t/2]$$A_2[t/2]$$A_1[t/2..t]$$A_2[1..t/2]$$A_1[1..t/2]$t / 2 n 1 n 2$A_2[t/2..t]$$t/2$$n_1$$n_2$$t$

Це узагальнює дещо складніший алгоритм, що працює у часі для більших значень , виходячи з обчислення медіани значень для : найменших елементів можна додатково ігнорувати в масивах де менший від медіани, а елементи рангів у можна додатково ігнорувати в інші масиви, що призводить до зменшення вдвічі в кожному рецидиву (і вартості для медіани).k A i [ t / k ] i ∈ [ 1 .. k ] t / k k / 2 A i [ t / k ] [ t - t / k . . ] k / 2 t O ( k $O(k\lg t)$$k$$A_i[t/k]$$i\in[1..k]$$t/k$$k/2$$A_i[t/k]$$[t-t/k..]$$k/2$$t$$O(k)$

Список літератури?

Я задоволений своїми рішеннями, але вважаю, що проблема (та її рішення) вже була відома. Він пов'язаний з лінійним алгоритмом часу для обчислення медіани (шляхом сортування груп за розміром та повторення на медіані їх середніх), але є дещо більш загальним. Я попросив декілька коледжів у Мадальго в Орхусі (Данія), а потім деякі інші в семінарі «Стрінгологія» (Руан), не маючи успіху: сподіваюся, що хтось більш обізнаний може допомогти на обміні стеками ...$5$

Мотивації

Рішення цієї проблеми мають додатки для відкладеної структури даних на масивах (дійсно, це може розглядатися як оператор у відкладеній структурі даних для об'єднання відсортованих масивів); і більш стислим способом - до адаптивного обчислення оптимальних вільних кодів префікса.

Алгоритм, описаний Фредеріксоном та Джонсоном у 1982 році, вважає, що всі множини мають однаковий розмір. Вони також описали в 1980 році оптимальне рішення, яке використовує переваги різних розмірів відсортованих наборів. Складність цього алгоритму знаходиться в межах .$O(k + \sum^k_{i=1}\log{n_i})$

Довідково

Грег Н. Фредеріксон та Дональд Б. Джонсон. 1980. Узагальнений відбір та ранжирування (Попередня версія). У працях дванадцятого щорічного симпозіуму ACM з теорії обчислень (STOC '80). ACM, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 420-428. DOI = 10.1145 / 800141.804690 http://doi.acm.org/10.1145/800141.804690

Фредеріксон і Джонсон отримали оптимальний результат у 80-х. Нехай , тоді існує алгоритм, який вирішує вашу задачу в .O ( k + p log $p=\min(k,t)$$O(k+p \log \frac{t}{p})$

Довідково

GN Frederickson, DB Johnson " Складність вибору та ранжирування у x + y та матрицях з відсортованими стовпцями " Дж. System Sci., 24 (2) (1982), стор. 197–208

Випадок k = 2 з'являється при паралельному сортуванні злиття, оскільки об'єднання двох відсортованих масивів з різних потоків потрібно розділити між двома потоками, щоб підтримувати однакову кількість паралелізму. Це рішення для домашнього завдання - одна орієнтир.