Яка найменша машина Тьюрінга, де невідомо, зупиняється вона чи ні?

31

Я знаю, що проблема зупинки не може бути вирішена, але є деякі машини Тьюрінга, які, очевидно, зупиняються, а такі, які, очевидно, не роблять. З усіх можливих машин для твердження найменший, де ніхто не має доказів, зупиняється він чи ні?

halting-problem

— Аарон
джерело

10

Відповідь залежить від специфіки моделі машини (кількість символів тощо). Згідно зі статтею Вікіпедії про зайнятого бобра , є 2-символьна 5-сатинна машина, невідомо, зупиняється вона чи ні.

— Каве

1

Зауважимо, що питання Аарона полягає не в рішучості даної мови, а в дійсності наявності доказу того, що конкретна машина Тьюрінга зупиняється. Для будь-якої машини Тьюрінга "її" проблема зупинки (будь то ця машина зупиняється на порожньому вході) є "вирішуваною": це або Так, ні, і обидві мови {Так} і {Ні} вирішуються. Це дуже відрізняється від того, чи є у вас доказ того, що машина зупиняється чи ні. Аароне, якщо ти маєш на увазі "що найменший

такий, що мова

зупиняється на

не визначимо", чи можете ви відредагувати своє запитання?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac

1

@ MichaëlCadilhac Проблема зупинки зазвичай трактується як "Враховуючи машину

та вхід

, чи зупиняється

для введення

?" не "Враховуючи машину

, чи зупиняється

для всіх входів?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— Девід Річербі

@DavidRicherby: Для мене проблема зупинки - мова машини (кодів), яка зупиняється на порожньому вході. Якщо тут не передбачений сенс, я думаю, його слід вказати, щоб розвіяти можливу (добре, мою) плутанину.

— Michaël Cadilhac

численні способи вивчення проблеми є дійсними та взаємопов'язаними, і дійсно є тонкість їх розрізнення, чого не ставив запитуючий.

— vzn

38

Найбільші машини Тьюрінга, для яких вирішується проблема зупинки, є:

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

$TM(2,4)$ $TM(3,3)$

$TM(4,2)$

Коментар Каве і відповідь Мухаммеда є правильними, тому для формального визначення стандартних / нестандартних машин Тьюрінга, використовуваних для такого роду результатів, див. Роботи Turlough Neary і Damien Woods на невеликих універсальних машинах Тьюрінга, наприклад, складність невеликих універсальних машин Тьюрінга: опитування (правила 110 ТМ слабо універсальні).

— Марціо Де Біасі
джерело

2

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

2

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

32

Я хотів би додати, що є деякі машини Тьюрінга, для яких проблема зупинки не залежить від ZFC.

Наприклад, візьміть машину Тьюрінга, яка шукає доказ протиріччя в ZFC. Тоді, якщо ZFC послідовний, він не зупиниться, але ви не можете довести це в ZFC (через другу теорему про незавершеність Геделя).

Тому справа не лише в тому, що ще не знайшли доказів, іноді доказів навіть не існує.

— Денис
джерело

ZFC? Що означає ZFC? Я просто не можу це зрозуміти з контексту.

— Акапулько

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Ніколов

Лол! добре. Я отримав lmgtfy'ed. Touchè. Не думав, що це ініціали будуть негайно і однозначно стосуватися цієї теми. У будь-якому випадку, я не думаю, що не завадить додавати ввічливості "ZFC (теорія множин Зермело-Френкеля)", вперше пояснивши її, також щоб уникнути двозначності, якщо вона є? :)

— Акапулько

16

@Acapulco, будь ласка, відвідайте центр екскурсій та довідки . Будь-який вчений-теоретик знав би, що означає ZFC, тому насправді немає необхідності в роз'ясненнях.

— Каве

1

2

$2$

5

Ніхто не має доказів, зупиняється чи ні універсальна машина Тьюрінга. Насправді такий доказ неможливий внаслідок нерозбірливості проблеми Халтінга. Найменший є 2-стан 3-символ універсальний Тьюринга машина , яка була знайдена Алекс Сміт , для якого він виграв приз в розмірі 25 000 $.

— Мухаммед Аль-Туркстані
джерело

4

Однак зауважимо, що, згідно з цитованою сторінкою Вікіпедії, доказ універсальності оспорюється. Крім того, це не стандартна модель машин Тюрінга: нібито універсальна машина не має стану зупинки, тому не може імітувати жодну машину, яка зупиняється, принаймні в стандартному сенсі того, що робить універсальна машина Тьюрінга.

— Девід Річербі

2

@DavidRicherby: Я вважаю, що слабко- універсальність правила 110 цілком прийнята: для нього потрібні два різні слова, які повторюються зліва та справа від вводу, а умовою зупинки є генерація спеціального планера (створюється якщо і лише якщо модельована машина зупиняється). Дивіться Меттью Кука "Універсальність в елементарних стільникових автоматах".

— Marzio De Biasi

-4

неточне фразування, але розумне загальне питання, яке можна вивчити декількома конкретними технічними способами. Є багато "малих" машин, виміряних станами / символами, де зупинка невідома, але жодна "найменша" машина неможлива, якщо не придумати якусь виправдовувану / кількісно вимірювану метрику складності TM, яка враховує і стан, і символи (очевидно поки що ніхто не запропонував).

$x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— взн
джерело

2

Не потрібно встановлювати метрику з урахуванням символів та станів. Після того, як на стрічці є два символи, зрозуміло, що проблема зупинки не вирішена майже для всіх номерів станів - наскільки я пам’ятаю, можна написати універсальну ТМ із лише п’ятьма станами. Якби ми знали точну межу розбірливості, я впевнений, що було б легко описати цю межу через пари (# стани, # символи).

— Девід Річербі

дослідження зайнятого бобра дійсно передбачає пошук доказів того, чи зупиняються ТМ для початкових налаштувань з невеликим числом станів, символів; є вирішувані справи. якщо хочеться "найменшого" чогось, треба створити точну метрику, яка вимірює "мале". п. вище полягає в тому, що метрика, яка включає лише стани або символи, може розглядатися як оманлива, що стосується репрезентації відомої межі, яка передбачає як (так і машини, не відомі як універсальні). Межу нерозбірливості в цьому дослідженні не просто "задати" в плані чого-небудь взагалі, це його фундаментальний характер ....

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— Девід Річербі

поки що ніхто не пропонував жодної метрики. жодна важлива межа в цій області не є "тривіальною для опису", і можна було б очікувати, що сценарій буде неможливим через Rices thm. це, мабуть, свідчить про недостатню ознайомленість з дослідженнями та цитованою справою, яка зацікавлена у вирішуваності входів для машин, менших ніж ті, які, як відомо, є універсальними (і передбачається, що вони не є універсальними). Ваші коментарі, схоже, зосереджені на універсальних та неоднорічних кордонах машин, які не є такими ж, як досліджувані межі вирішення проблеми бобра, наприклад, у цитованих рефератах (як вище, так і Марціо).

— vzn

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$