Напружені алгоритмічні задачі, спрощені теоремами

Я шукаю прикладних прикладів, де трапляється таке явище: (1) Алгоритмічна проблема виглядає важко, якщо ви хочете вирішити її, працюючи з визначень та використовуючи лише стандартні результати. (2) З іншого боку, стає легко, якщо ви знаєте деякі (не настільки стандартні) теореми.

Мета цього - проілюструвати студентам, що вивчення більшої кількості теорем може бути корисним навіть для тих, хто знаходиться поза межами теоретичної галузі (наприклад, інженерів програмного забезпечення, комп'ютерних інженерів тощо). Ось приклад:

Запитання: Враховуючи цілі числа , чи існує n -вершинний графік (і якщо так, знайдіть його), таким чином, що його зв'язок вершини k , його крайова сполучність l , а мінімальний ступінь d ?$n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

Зауважимо, що нам потрібно, щоб параметри були точно рівними заданим числам, а не просто межі. Якщо ви хочете вирішити це з нуля, це може здатися досить важким. З іншого боку, якщо ви знайомі з наступною теоремою (див. Теорія екстремальних графіків Б. Боллобаса), ситуація стає зовсім іншою.

Теорема: Нехай - цілі числа. Існує n -поверховий графік з вершинною зв’язковістю k , крайовим зв’язком l та мінімальним ступенем d , якщо і лише за умови виконання однієї з наступних умов:$n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• , $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

Ці умови дуже легко перевірити, оскільки вони є простими нерівностями серед вхідних параметрів, тому на питання про існування можна відповісти без особливих зусиль. Крім того, доведення теореми є конструктивним, а також вирішує питання побудови. З іншого боку, цей результат виглядає недостатньо стандартним, так що ви можете розраховувати на те, що всі дізнаються про нього.

Чи можете ви надати подальші приклади в цьому дусі, коли знання (не настільки стандартної) теореми значно спрощує завдання?

Вирішення ізоморфізму простих груп, заданих таблицями їх множення. Те, що це можна зробити в поліноміальний час, безпосередньо випливає з того, що всі скінченні прості групи можуть бути породжені щонайменше двома елементами, і в даний час єдиним відомим доказом цього факту є Класифікація кінцевих простих груп (можливо, найбільша теорема - з точки зору авторів, робіт та сторінок - коли-небудь доведених).

Якщо я правильно розумію ваше запитання, канонічний приклад може вирішити, чи граф має ейлерову ланцюг: еквівалент перевірки того, що G підключено, і кожна вершина має рівний ступінь.$G$$G$

Сьогодні вдень я читав стрінгологію - "Справжню" теорію струн .

$x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

$m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

Знаходження кількості (виразних) реальних коренів реального многочлена або в усьому ℝ, або в заданому інтервалі. Теорема Штурма говорить вам, що послідовність многочленів, що відповідає невеликій кількості вимог, може бути використана для підрахунку кількості реальних коренів многочлена з реальними коефіцієнтами.

Тоді, все, що вам потрібно зробити, - це побудувати таку послідовність (що не дуже складно, але вимагає деяких крайових випадків та обробки справи нероздільних поліномів), а Боб - ваш дядько.

Дивно, але мало хто знає про цей результат, незважаючи на те, що він був досить старим (1829 р.). Він використовується в багатьох комп’ютерних алгебра-системах, але всі професори математики в моєму університеті, яких я запитав, або взагалі не знали теорему Штурма, або вони знали її лише по імені, і це має щось спільне з корінням поліномів.

Більшість людей дуже здивовані , коли ви говорите їм , що - щось на зразок підрахунку дійсних коренів саме це легко і не потребує будь - яких наближення, враховуючи , що перебування коренів набагато складніше. (Пам'ятайте, що для поліномів ступеня ≥ 5 навіть не існує "правильної" формули для коренів)

Теорема: Кожен плоский графік має вершину зі ступенем не більше 5.

$O(n)$$(u, v)$$O(1)$

$5n$$u$$v$$v$$u$$10$

Я думаю, що для цієї категорії, щонайменше, стосується асиметрії складності, є така проблема:

$G$$G$

Теорема Чотири кольору спрощує алгоритм до return true.

$p$

Інший приклад: з урахуванням ненаправленого графіка, чи має він мінімальний зріз, у якому всі ребра роз'єднані? Якщо так, знайдіть його.

$n$$n(n-1)/2$

Він може бути розширений до майже мінімальних надрізів, які є більшими, ніж мінімальний зріз, але максимум постійним коефіцієнтом. Їх кількість все ще обмежена многочленом.

(Я не шукав посилання, моє згадування полягає в тому, що ці результати пояснюються Д. Каргером.)

Проблема: Сатифікованість формули MSO (монадична логіка другого порядку) над кінцевими словами.

Теорема: MSO еквівалентний кінцевим автоматам над кінцевими словами.

Сказане можна підняти до нескінченних слів, кінцевих дерев, нескінченних дерев.

Трохи складніший приклад: негативна матрична факторизація , коли неонегативний ранг є постійним.

$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

$O(r^2)$$r$

$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

Рішаючий Діффі Хеллман

$(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

За стандартних припущень про твердість дискретної проблеми журналу, ця проблема також може здатися важкою.

$e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

Більше про це можна прочитати на проблемі "Проблема вирішення пекла", Boneh'98 або пошуку Google в "Парінс"

(Тривіально) існування рівноваги Неша в кінцевій грі, парне число гамільтонових Шляхів у кубічному графіку, різні типи фіксованих точок, гідно збалансовані порівняння в часткових порядках та багато інших проблем ППАД.

$((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

$s$$t$$(V, E)$$s$$t$

Ось ще один приклад: задавши непрямий простий графік, вирішіть, чи має він дві вершино-роз'єднані схеми.

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

Оскільки легко перевірити, чи граф є одним із графіків, дозволених теоремою, це дає нам алгоритм поліноміального часу для вирішення проблеми.

Примітки: (1) Доведення теореми зовсім не просте. (2) Після того, як ми вирішили, що існують два непересічні схеми, видається менш зрозумілим, як вирішити пов'язану з цим проблему пошуку , тобто як насправді знайти такі схеми. Теорема не дає прямих порад щодо цього.

менш складні приклади: є деякі властивості теореми, які показують, що жадібні алгоритми для деяких проблем є оптимальними. його не настільки очевидно для непосвяченого дерева мінімуму, що охоплює, можна знайти жадібний алгоритм. дещо подібним концептуально є алгоритм Діккстра для пошуку найкоротшого шляху у графіку. насправді в обох випадках пов'язані "теореми" майже такі самі, як алгоритми.

Знайдіть послідовність чисел Фібоначчі, що є добутком інших чисел Фібоначчі. Наприклад, число 8 Фібоначчі знаходиться в послідовності, оскільки 8 = 2 * 2 * 2, а 2 - число Фібоначчі, яке не дорівнює 8. Число Фібоначчі 144 знаходиться в послідовності, оскільки 144 = 3 * 3 * 2 * 2 * 2 * 2, і обидва, 2 і 3 - це числа Фібоначчі, які не дорівнюють 144.

З теореми Кармайхеля випливає, що 8 і 144 є єдиними членами цієї послідовності.