Підрахунок розчинів формул Монотон-2CNF

Формула Monotone-2CNF - це формула CNF, де кожен пункт складається саме з 2 позитивних літералів.

Тепер у мене формула Monotone-2CNF . Нехай - безліч задач , що задовольняють. У мене також є Oracle який може дати наступну інформацію:S F $F$$S$$F$$O$

1. Можливість множини (тобто кількість розв’язків ).$S$$F$
2. Дано змінну : $x$
   • Кількість розв’язків в що містять позитивний буквальний .$S$$x$
   • Кількість рішень у що містять негативний буквал .¬ $S$$\lnot x$
3. Дано 2 змінні та : х $x_1$$x_2$
   • Кількість рішень в що містять .x 1 ∧ x $S$$x_1 \land x_2$
   • Кількість рішень у що містять .x 1 ∧ ¬ x $S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • Кількість рішень у що містять .¬ x 1 ∧ x $S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • Кількість рішень у що містять .¬ x 1 ∧ ¬ x $S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

Зверніть увагу , що оракул буде «обмежена»: він працює тільки на , він не може бути використаний за формулою .F F ′ ≠ $O$$F$$F' \neq F$

Питання:

З урахуванням 3 змінних , , чи можна визначити кількість розв’язків у що містять за багаточлен, використовуючи та інформацію, надану ?x 2 x 3 S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ ¬ x 3 F $x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

Примітка:

Ви можете замінити у запитанні будь-яким іншим із 8 можливих комбінацій , , . Проблема залишилася б такою ж.x 1 x 2 x $\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

Емпіричний факт:

Я натрапив на наступний емпіричний факт тиждень тому. Нехай є набором тих рішень, що містять , і нехай бути набором тих рішень, що містять . Тепер, мабуть, випадок, що якщо виконується умова , це відношення також має місце: де - золоте співвідношення. Умова здається такою: " ,¬ x 1 ∧ ¬ x 2 S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 ⊂ S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 C | S ¬ x 1 ∧ ¬ x 2$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$

ϕ=1,618033 ...Cx1x2x3F$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$ , згадуються в майже стільки ж разів "$x_3$$F$ .

Щоб використовувати цей емпіричний факт, ви дійсно хочете знати, чи приблизні числа можуть дати іншим приблизні числа. Але для точного випадку, я думаю, що може бути простий спосіб показати це важко. Ось ескіз.

$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

Структура доказу:

1. Якщо 2-проекції дають 3-проекції, вони також дають k-проекції в політемі для кожного k.
2. Якщо 2-проекції дають 4-проекції, то кількість незалежних наборів графіка знаходиться у FP, тому FP = # P.

$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Деякі спостереження, а не відповідь.

На додаток до запитання, будь-яка комбінація 3 буквалів може бути виражена будь-якою іншою комбінацією літералів на одних і тих же змінних разом із невеликою кількістю термінів, які може оракул. Це випливає з перегляду діаграми Венна з 3 пересічних множин та вираження кожної з 8 областей у відношенні інших регіонів. Зауважте, що для цього не потрібно, щоб формула була монотонною або 2CNF.

$2^{n-3}$

Отже, питання справді полягає в тому, чи можна використовувати властивість бути монотонним 2CNF для стиснення цього виразу експоненціального розміру до розміру полінома.

Я спробував розглянути більш просте запитання, обмеживши оракул лише рядом поради з кількістю рішень, коли рахунки для одно- чи парних буквальних комбінацій недоступні. Я не бачу жодного способу використання знань про кількість рішень для швидкого обчислення кількості рішень стосовно будь-якого одного буквального.

$S$$x_1$$|S|$