Нетривіальне членство в НП

27

Чи є приклад мови, яка є в , але де ми не можемо довести цей факт безпосередньо, показавши, що існує поліноміальний свідок членства в цій мові? $NP$

Натомість той факт, що мова перебуває в було б доведено шляхом зменшення її до іншої мови в , де зв’язок між ними не є тривіальним та потребує ретельного аналізу. $NP$ $NP$

Загалом, чи є якісь цікаві приклади проблем в так що важко зрозуміти, що вони в ? $NP$ $NP$

Напіввідповіддю буде проблема вирішення переможця в паритетних іграх: щоб показати, що саме в (навіть ) нам потрібна теорема детермінації, яка є глибокою та нетривіальною. Однак ця відповідь не є ідеальною, оскільки вона все ще зводиться до існування поліноміального свідка цієї точної проблеми (позиційної стратегії) і не зводиться до іншої різної . $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

Ще одним був би алгоритм первинності AKS: рішення про те, чи є число простим, є поліноміальним, тоді як апріорі немає малого свідчення цього факту. Скажімо, ми виключаємо "дивовижні поліноміальні алгоритми", оскільки багато з них відповідатимуть описаному вище. Мене більше цікавлять дивовижні алгоритми , які не є детермінованими. $NP$

reductions np

— Денис
джерело

12

Ми знали, що прайми були в NP до AKS, тому що

n > 2

$n > 2$ є простим iff, коли є

1 < r < n

$1<r<n$ такий, що а для всіх простих дільників q з , .

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— Артем Казнатчеєв

ах цікаво, я не думав про сертифікати первинності.

— Денис

6

Хороший пул для прикладів нетривіального членства в НП може виникнути через проблеми, для яких вже певний час відкрито, чи вони навіть вирішуються. Дві проблеми з вершини мого капелюха: розпізнавання рядкових графів та розпізнавання unknot (і більш загальний рід вузлів). В обох випадках, однак, існує поліноміальний свідок (а саме нормальні криві / поверхні) - їх просто важко було знайти. Вузловість також є в NP, і вона також нетривіальна: існує сертифікат, але потрібен Узагальнена гіпотеза Рімана, щоб поліном був пов'язаний з його розмірами.

— Арно

"Проблема з орбітою" також давно не була вирішена. Він був , нарешті , опинився в П. проф Lipton має відмінну статтю на своєму блозі про історію цієї проблеми: rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/the-orbit-problem

— Джагадіш

3

Ще один приклад: Давши графік, вирішіть, чи він ідеальний. Проблему можна вирішити в поліноміальний час, але потрібно було деякий час, щоб довести, що вона знаходиться в НП.

— Jagadish

20

Цілісне програмування .

Показано, що якщо є ціле рішення, то існує ціле ціле рішення многочлена. Побачити

Крістос Пападімітріу, " Про складність програмування цілих чисел", JACM, 1981 рік.

— Каве
джерело

4

Див. Крістос Пападімітріу, Про складність програмування цілих чисел, JACM 28 765–768. dx.doi.org/10.1145/322276.322287 (варто прочитати, і всього чотири сторінки).

— Андрас Саламон

1

Якщо у вас немає доступу до ACM DL, ви можете отримати папір Пападімітріу звідси .

— Каве

17

Хоча проблема "чи є номер перетину графіка не більше ?" тривіально в NP, приналежність NP до пов'язаних з цим проблем прямолінійного номера переїзду та номера парного переходу є дуже очевидними; пор. Bienstock, деякі, ймовірно, важкі проблеми перетину чисельності, дискретні обчислення. Геометрія 6 (1991) 443-459, Шефер та ін., Визнаючи струнні графіки в NP, J. Comput. Система Sci. 67 (2003) 365-380. $k$

— user13136
джерело

13

Мій улюблений приклад - класичний результат 1977 року Ашока Чандри та Філіпа Мерліна. Вони показали, що проблема вмісту запитів вирішується для кон'юнктивних запитів. Проблема утримання кон'юнктивних запитів виявляється рівнозначною вирішенню, чи існує гомоморфізм між двома вхідними запитами. Це перефразовує семантичну задачу, що включає кількісне визначення над нескінченним набором, у синтаксичну, вимагаючи лише перевірки обмеженої кількості можливих гомоморфізмів. Сертифікат гомоморфізму має лише лінійний розмір, тому проблема полягає в NP.

Ця теорема є однією з основ теорії оптимізації запитів баз даних. Ідея полягає в перетворенні запиту в інший, більш швидкий. Однак хочеться впевнитись, що процес оптимізації не створює нового запиту, який не дає відповіді на деякі бази даних, де оригінальний запит дав результати.

Формально запит до бази даних є виразом форми , де - список вільних змінних, - список зв'язаних змінних, а - формула першого порядку зі змінними та мови із символами відношення. Запит може містити екзистенційні та універсальні квантори, формула може містити кон'юнкцію та диз'юнкцію реляційних атомів, також може з'являтися заперечення. Запит застосовується до екземпляра бази даних $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ , що є сукупністю відносин. Результат - набір кортежів; коли кортеж в результаті заміщений на то формулу можна задовольнити. Тоді можна порівняти два запити: міститься у якщо всякий раз, коли застосований до довільного екземпляра бази даних, створює певні результати, тоді застосований до одного і того ж екземпляра, також дає деякі результати. (Добре, якщо не дає результатів, але $\mathbf{t}$ $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ так, але для стримування імплікація повинна мати місце для кожного можливого екземпляра.) Проблема з вмістом запитів запитує: з огляду на два запити бази даних і , чи міститься у ? $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

Перед Чандрою-Мерліном зовсім не було зрозуміло, що проблема вирішується. Використовуючи лише визначення, треба кількісно оцінити нескінченний набір усіх можливих баз даних. Якщо запити необмежені, то проблема насправді не може бути вирішена: нехай - це формула, яка завжди відповідає дійсності, тоді міститься в якщо є дійсним. (Це Енштайдунгспроблема Гільберта , показана Церквою та Тюрінгом у 1936 році. $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

Щоб уникнути визначуваності, кон'юнктивний запит має досить обмежену форму: містить лише екзистенційні кількісні показники, а заперечення та диз'юнкція заборонені. Тож - це позитивна екзистенціальна формула з лише сполученням реляційних атомів. Це крихітний фрагмент логіки, але цього достатньо, щоб висловити велику частку корисних запитів до бази даних. Класичний вислів у SQL виражає сполучні запити; більшість запитів пошукової системи - це кон'юнктивні запити. $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

Можна визначити гомоморфізми між запитами прямо (аналогічно гомоморфізму графів, дещо додаткової бухгалтерії). Теорема Чандра-Мерліна говорить: якщо два сполучних запити і , міститься в якщо є гомоморфізм запиту від до . Це встановлює членство в НП, і просто можна показати, що це також важко для НП. $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

Ашок К. Чандра та Філіп М. Мерлін, Оптимальна реалізація кон'юнктивних запитів у реляційних базах даних , STOC '77 77–90. doi: 10.1145 / 800105.803397

Розв’язання вмісту запитів пізніше поширилося на об'єднання кон'юнктивних запитів (екзистенційні позитивні запити, де дозволена диз'юнкція), хоча дозволення диз'юнкції підвищує складність до -повної. Результати розбірливості та невизначеності також встановлені для більш загальної форми утримання запитів , що передбачає семірінг оцінок, які виникають під час підрахунку кількості відповідей, при поєднанні анотацій у походженнях або при об'єднанні результатів запитів у імовірнісних базах даних. $\Pi^P_2$

— Андраш Саламон
джерело

4

Я знайшов хорошого кандидата, читаючи деякі статті про квадратичні рівняння діофантину:

JC Lagarias, Суспільні сертифікати для рішення бінарних квадратичних рівнянь Діофантіна (2006)

З реферату: ... Нехай позначає довжину двійкового кодування двійкового квадратичного рівняння Діофантіна заданого . Припустимо, - таке рівняння, що має негативне ціле рішення. Цей документ показує, що існує доказ (тобто "сертифікат"), що має таке рішення, яке можна зареєструвати $L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ . Наслідком цього результату є те, що множина знаходиться в класі складності NP ... $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... але - чесно кажучи - єдиним свідченням того, що я маю на увазі, що це нетривіально, є кількість сторінок паперу ... 62! :-)

— Марціо Де Біасі
джерело

4

Коли розпізнавання графіка допуску було відкрито, наступний документ показав, що він знаходиться в NP:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(Пізніше було показано, що розпізнавання графіків допусків є NP повним: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

— JimN
джерело

3

Рішення про доступність для різних видів систем нескінченного стану іноді вирішується, часто не буває. Для деяких цікавих спеціальних випадків завжди існує достатньо невеликий і ефективно перевіряється сертифікат, який ставить такі проблеми в НП. Ось акуратний режим обробки одноразових параметричних автоматів:

Крістоф Хааз, Стефан Кройцер, Джоел Оуакнін, Джеймс Уоррелл, Доступність у лаконічних та параметричних одноконтрольних автоматах , CONCUR 2009, LNCS 5710 369–383. doi: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( розширена версія )

— Андраш Саламон
джерело

3

$NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} якщо гіпотеза про двічі простий, і L = L_{2} інакше

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

$L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— Андрас Фараго
джерело

5

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— Джошуа Грохов