Складність підрахунку кількості крайових кришок графіка

Край кришки являє собою підмножину ребер графа, що кожна вершина графа суміжно принаймні , одного краю кришки. Наступні два документи говорять про те, що підрахунок обкладинки крайок є #P -комплект : Простий FPTAS для підрахунку обкладинки країв та генерування обкладинки країв графіків шляху . Однак, якщо я щось не пропустив, вони не дають посилання на цю претензію чи доказ. (Довідник 3 першої статті видався багатообіцяючим, але я і там не знайшов того, що хотів.)

Де я можу знайти посилання або доказ того, що підрахунок кількості крайових кришок графіка дорівнює # P?

— a3nm
джерело

Відповіді:

Я не знаю, де це було вперше доведено, але оскільки у EdgeCover є вираження як булева проблема домену Холанта, вона включена до багатьох теорем про дихотомію Голанта.

EdgeCover включений в теорему про дихотомію в (1). Теорема 6.2 (у журнальній версії або Теорема 6.1 у переддруку) показує, що EdgeCover є # P-жорстким над площинними 3-регулярними графіками. Щоб побачити це, вираз для EdgeCover як проблеми Холанта над 3-регулярними графами є (або замінити на що містить -регулярні графіки). Це $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ 1, для тієї ж проблеми над $k$ $k$ позначення перераховує вихідсиметричної функціїу порядку введення ваги Хеммінга. Для деякого підмножини набірних ребер (які ми вважаємо призначеними 1, а набору комплементу присвоєно 0), обмеженням для кожної вершини є те, що принаймні одному ребру присвоюється 1, що саме є функцією . Для фіксованого підмножини ребер його вага - добуток виходів $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ у кожній вершині. Якщо будь-яка вершина не охоплена, вона вносить коефіцієнт $0$ . Якщо всі вершини охоплені, то всі вершини вносять коефіцієнт , тому вага також дорівнює . Тоді Холант повинен підсумовувати всі можливі підмножини ребер і додавати вагу, відповідну кожному підмножині. Це значення Холанта точно таке, якщо ми розділимо кожне ребро і накладемо обмеження, що обидві ребра, що падають, до цих нових вершин повинні бути рівними. Використовуючи позначення симетричної функції, ця функція бінарної рівності є . Цей графік двосторонній. Вершини в одній частині мають $1$ $1$ $[1,0,1]$ обмеження, тоді як вершини в іншій частині маютьобмеження . Вираз для цього як проблеми Голанта - . Тоді ви можете перевірити для себе той рядок " " та стовпець " $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "таблиці біля цитованої вище теореми містить" H ", а це означає, що проблема є # P-жорсткою, навіть вхідний графік повинен бути планарним. $[1,0,1]$

Побічна примітка: Зауважте, що Піньян Лу є автором як цієї статті, так і першої статті, яку ви цитуєте. Я здогадуюсь, що коли їхній документ каже, що «підрахунок обкладинки крайок є проблемою # P-повної, навіть коли ми обмежуємо введення 3-ма звичайними графіками», вони неявно цитували (1). Вони, ймовірно, не згадували, що твердість також зберігається при подальшому обмеженні плоских графіків, оскільки їх FPTAS не потребує цього обмеження.

Пізніші теореми про дихотомію Голанта, такі, як у (2,3) --- конференційній та журнальній версіях тієї ж роботи --- виявилися більше. Теорема 1 (в обох версіях) говорить, що EdgeCover є # P-жорстким над площинними -регулярними графами для . Щоб побачити це, нам потрібно застосувати голографічну трансформацію. Як описано вище, вираз для EdgeCover як задачі Голанта над -регулярними графами є , де $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ містить $k$ 1-х. І крім того, це еквівалентно . Тепер застосуємо голографічне перетворення на $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (або її зворотна залежність від вашої точки зору). За теоремою Холанта Валіана (4,5), це не змінює складності проблеми (насправді обидві проблеми насправді є однією і тією ж проблемою, оскільки вони узгоджуються з результатами кожного введення ... лише вираз проблеми змінився ). Черговим виразом цієї проблеми є

де

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$ - функція рівності

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$ у викладі теореми є

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$ , one can check that this problem, so thus EdgeCover as well, is #P-hard over planar

k

$k$ -regular graphs for

k \geq 3

$k \ge 3$ .

Side note: One can also see this theorem and proof in Michael Kowalczyk's thesis.

I will continue my literature search to see EdgeCover was shown to be #P-hard before (1).

(1) Holographic Reduction, Interpolation and Hardness by Jin-Yi Cai, Pinyan Lu, and Mingji Xia (journal, preprint).

(2) A Dichotomy for $k$ -Regular Graphs with $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(3) Partition functions on $k$ -Regular Graphs with $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(4) Holographic Algorithms by Leslie G. Valiant

(5) Valiant’s Holant Theorem and matchgate tensors by Jin-Yi Cai and Vinay Choudhary

— Tyson Williams
джерело

Wow, thanks for pointing me to this and for taking the time to explain the vocabulary and connection to edge cover! I agree with you that (1) implicitly proves that EdgeCover is hard (and is hard even for 3-regular planar graphs). I'm also interested to know if anyone proved the #P-hardness of EdgeCover before (1), though I'm already quite happy that I have something to cite if I need to use this result (which was my main concern when asking). Thanks again for your answer!

— a3nm

@Tyson Williams: if you start from a 2-3-regular graph and contract the nodes of the partition of degree 2 then you could end up with a 3-regular multigraph, i.e., with parallel edges. Can this be fixed to show hardness on 3-regular simple graphs? More generally, this question could be asked for all the results on Holant problems, so I created a new question here cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111, because I think the issue is not restricted to this particular problem (counting edge covers). I'd be glad if you could take a look :)

— M.Monet

Ah, yes. Good observation. I am unable to remember right now what results there are for simple graphs.

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Thanks for confirming, and no worries! In my community "graph" always means "simple graph" unless stated otherwise, so I hadn't stated it explicitly in the question.

— a3nm

@TysonWilliams: after all, we have found how to get a hardness result on counting edge covers for simple graphs (that are 2-3 regular bipartite and planar) via holographic means. The details are in the latest version of my answer below, and in Appendix D of arxiv.org/abs/1703.03201. We use the hardness of counting vertex covers on 3-regular bipartite planar graphs from xia2006regular: these graphs have no self-loops, we subdivide each edge which removes parallel edges, and cai2008holographic does not create problems. (As for 3-regular graphs, as in your answer, we don't know.)

— a3nm

After some more literature search, it appears that the complexity of counting the edge covers in a graph was shown to be #P-complete in bordewich2008path, Appendix A.1. (This assumes arbitrary graphs as input, i.e., they cannot enforce any assumptions on the input graph, except that they observe that the minimal degree can be made arbitrarily large). (bordewich2008path further indicates that the result is claimed without proof in bubley1997graph.) This result predates those of Cai, Lu, and Xia referenced as (1) in Tyson Williams' answer, and it does not rely on holographic theory.

Specifically, the result relies on the #P-hardness of counting independent sets in 3-regular graphs shown in greenhill2000complexity (improving on the analogous result for graphs of degree at most 4 shown in vadhan1997complexity), and proves the result using the technique of bubley1997graph.

A stronger result, namely, the hardness of counting edge covers in a bipartite graph of degree at most four (further imposing that the edge set can be partitioned into four matchings) was studied independently in khanna2011queries, Appendix B.1, again without holographic tools. They rely on the hardness of counting independent sets in 3-regular bipartite graphs (shown in xia2006regular by a refinement of the interpolation method of vadhan1997complexity) and then they apply a refinement of the technique of bordewich2008path.

An even stronger result (hardness of counting edge covers in a bipartite 2-3 regular graph, i.e., a bipartite graph where all vertices on one side have degree 2 and all vertices on the other side have degree 3, which is additionally planar) can be shown using the results of xia2006regular and cai2008holographic. The explanations for this appear as Appendix D of the latest version of our PODS'17 paper. In this case, we checked rather carefully that the result holds for simple graphs, i.e., for graphs that have neither self-loops nor multi-edges (see the comments to Tyson Williams' answer).

For hardness on planar 3-regular graphs, an argument is given in Tyson Williams' answer, but it would seem that it allows multi-edges and self-loops in the graphs.

References:

bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Path Coupling Using Stopping Times and Counting Independent Sets and Colourings in Hypergraphs, 2008.
bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Graph orientations with no sink and an approximation for a hard case of #SAT, 1997. No open-access version seems available online. :-(
cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Holographic reduction, interpolation and hardness, 2008
greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, The complexity of counting colourings and independent sets in sparse graphs and hypergraphs, 2000
khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Queries with Difference on Probabilistic Databases, 2011.
vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, The Complexity of Counting in Sparse, Regular, and Planar Graphs, 1997. Some results probably originally appeared in a thesis, but I didn't check.
xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, #3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover is #P-Complete, 2006. No open-access version seems available online. :-( Note that the first author is also an author of (1) in Tyson Williams' answer.

Diclaimer: I only had a superficial look at these papers and I am not an expert in this field, so there may be errors in my summary above.

Thanks to an anonymous PODS'17 referee for pointing me to khanna2011queries, which is what prompted me to write this answer.

— a3nm
джерело