Обдурювання довільних симетричних функцій

Розподіл називається ε -fool функцію F , якщо | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ . І, як кажуть, обдурити клас функцій, якщо він обдурює кожну функцію цього класу. Відомо, що ϵ -забезпечені простори обманюють клас паритетів над підмножинами. (див. Алон-Голдрайх-Хастад-Перальта$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$для деяких приємних конструкцій таких просторів). Питання, яке я хочу задати, - це узагальнення цього до довільних симетричних функцій.

Питання: Припустимо, ми беремо клас довільних симетричних функцій над деяким підмножиною, чи є у нас розподіл (з невеликою підтримкою), який обдурює цей клас?

Деякі невеликі спостереження:

• Досить , щоб обдурити точні пороги ( є 1 , якщо і тільки якщо х мають рівно до тих серед індексів в S ). Будь-який розподіл , що ε -fools ці точні пороги будуть п ε обдурити все симетричні функції над п бітами. (Це тому, що кожну симетричну функцію можна записати як реальну лінійну комбінацію цих точних порогових значень, де коефіцієнти в комбінації або 0, або 1. Лінійність очікування дає нам те, що ми хочемо) Аналогічний аргумент також працює для загальних порогів ( Th S k ( $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  є 1, якщо і лише тоді, коли х має принаймні k серед індексів у S )$\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$$S$

• Існує чітка побудова розподілу з підтримкою через PRG Нісана для LOGSPACE .$n^{O(\log n)}$

• Довільні -пробіли не працюватимуть. Наприклад, якщо S - безліч усіх x таких, що кількість одиниць у x є ненульовим модом 3, це насправді ϵ -залежно від дуже малого ϵ (від результату Аркадєва Чатопдяя ). Але явно це не обманює функцію MOD3.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

Цікавою підпроблемою може бути наступне: припустимо, ми просто хочемо обдурити симетричні функції над усіма n показниками , чи є у нас хороший простір? Наведені вище спостереження нам просто потрібно обдурити порогові функції над бітами, що є лише сімейством n + 1 функцій. Таким чином, можна просто вибрати розподіл грубою силою. Але чи є приємніші приклади пробілів, які дурять Th [ n ] k 'для кожного k ?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Так, нещодавно загальне рішення цієї проблеми надали Парікшіт Гопалан, Рагу Мека, Омер Рейнгольд та Девід Цукерман, див. Псевдовипадкові генератори для комбінаторних форм .

Цей папір обробляє ще загальніші параметри, коли генератор виводить log m- бітових блоків, які потім подаються на довільні булеві функції, n виходів яких потім подаються на булеву симетричну функцію.$n$ $\log m$$n$

Вже були відомі різноманітні підстави; див., наприклад, псевдовипадкові генератори бітів , які обдурюють модульні суми , обмежені незалежністю дурні напівпростори та псевдовипадкові генератори для поліноміальних порогових функцій . Перша ручка підсумовує модуль . Друга і третя обробляють саме порогові тести, які ви згадуєте, однак помилка недостатньо хороша, щоб застосувати свої міркування, щоб отримати результат для кожної симетричної функції.$p$