Алгоритм визначення рівності функції на просто набраному лямбдальному обчисленні?

Ми знаємо, що бета-рівність просто введених лямбда-термінів можна вирішити. З огляду на M, N: σ → τ, чи вирішується чи для всіх X: σ, MX $≃_β$ NX?

Як я вже сказав у своєму коментарі, загалом відповідь - ні.

Важливим моментом, який потрібно зрозуміти (я кажу це для Вікліба, який, здається, дізнається про ці речі), є те, що наявність мови програмування / набору машин, у яких усі програми / обчислення закінчуються, не означає, що рівність функції (тобто, чи два програми / машини, які обчислюють одну і ту ж функцію) можна вирішити. Простий приклад: візьміть набір багаточленних машин Тьюрінга. За визначенням, всі такі машини припиняються на всіх входах. Тепер, враховуючи будь-яку машину Тьюрінга , існує машина Тьюрінга яка, у рядок , імітуєкроки обчислення на фіксованому вході (скажімо, порожній рядок) і приймає, якщо закінчується не більше$M$$M_0$$x$$|x|$$M$$M$$|x|$кроки або відхиляє інше. Якщо - машина Тьюрінга, яка завжди негайно відхиляє, і обидва (очевидно) поліноміально-тактовані, і все ж, якщо ми могли б вирішити, чи і обчислюють одну і ту ж функцію (або, у цьому випадку, вирішують одну і ту ж мову), ми могли б вирішити, чи закінчується (що, пам’ятаємо, довільна машина Тьюрінга) на порожній рядку.$N$$M_0$$N$$M_0$$N$$M$

У випадку просто набраного -calculus (STLC) працює аналогічний аргумент, за винятком того, що вимірювання виразної сили STLC не настільки тривіальне, як у наведеному вище випадку. Коли я писав свій коментар, я мав на увазі пару статей Гіллебранда, Канеллакіса та Майрсона з початку 90-х, які показують, що, використовуючи складніші типи, ніж звичайний тип цілих чисел Церкви, можна кодувати в STLC досить складний розрахунки для роботи вищезгаданого аргументу. Насправді я зараз бачу, що потрібний матеріал вже є у спрощеному доказі теореми Статмена про Мейрсона:$\lambda$

Гаррі Г. Мейрсон, простий доказ теореми Статмена. Теоретичні інформатики, 103 (2): 387-394, 1992. (Доступно в Інтернеті тут ).

У цій роботі, Mairson показує, що для будь-якої машини Тьюринга , існує простий тип і -term , що кодує функції переходів . (Це апріорі не очевидно, якщо мати на увазі надзвичайно слабку виражальну силу STLC щодо цілих чисел Церкви. Дійсно, кодування Мейрсона не є негайним). З цього не важко побудувати термін$M$$\sigma$$\lambda$$\delta_M:\sigma\rightarrow\sigma$$M$

$t_M:\mathtt{nat}[\sigma]\rightarrow\mathtt{bool}$

(де - екземпляр на типу цілих чисел Церкви) таким чином, що зменшується до якщо закінчується не більше кроків, коли подається порожній рядок або зменшується до іншому випадку. Як і вище, якби нам вдалося вирішити, що функція, представлена є константа , ми вирішили би припинити на порожній рядку.$\mathtt{nat}[\sigma]$$\sigma$$t_M\,\underline{n}$$\underline{1}$$M$$n$$\underline{0}$$t_M$$\underline{0}$$M$