Скільки примірників 3-SAT задовольняють?

28

Розглянемо задачу 3-SAT на n змінних. Кількість можливих чітких пропозицій:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Число проблемних випадків це число всіх підмножин множини можливих положень: . Тривіально для кожного існує принаймні один задоволений екземпляр та один незадовільний екземпляр. Чи можна обчислити або принаймні оцінити кількість задовольняються екземплярів для будь-якого n? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Антоніо Валеріо Міцелі-Бароне
джерело

Дивіться також пов’язане питання cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

Ви не проти пояснити, як ви отримуєте формулу підрахунку? Звідки 3! походить від тощо?

— Ян Кінг Інь

Ще одне питання для новачків: якщо загальна кількість конфігурацій (тобто присвоєння істини) становить , це означає, що багато присвоєнь істини не можуть бути виражені жодним проблемним екземпляром. Наскільки мені зрозуміло, що булеві формули є повними в тому сенсі, що вони можуть висловити будь-яку таблицю істинності, це протиінтуїтивно. У чому тут улов?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Ян Кінг Інь

27

Довга історія роботи над фазовими переходами в SAT показала, що для будь-якого фіксованого існує поріг, параметризований відношенням кількості пропозицій до який визначає задоволеність. Грубо кажучи, якщо коефіцієнт менший за 4,2, то з великою часткою ймовірності екземпляр є задовільним (і тому величезна частка кількості примірників із цими безліччю застережень та змінних задовольняється). Якщо коефіцієнт трохи вище 4,2, то зворотне значення - переважна частка випадків незадовільна. $n$ $n$

Тут згадується занадто багато посилань: одне джерело інформації - це книга Мезарда та Монтанарі . Якщо хтось має джерела для опитувань тощо на цю тему, він може опублікувати його в коментарях або відредагувати цю відповідь (я зроблю це CW)

Список літератури:
- опитування Achlioptas
- Де справді важкі проблеми
- Уточнення фазового переходу в комбінаторному пошуку

— Суреш Венкат
джерело

Це дуже цікаво. Яка "переважна ймовірність?" Це щось на зразок 75%, або 99,9999%?

— Філіп Уайт

Я не пригадую, якщо чесно. вона параметризується відстані співвідношення від точки перемикання і діє як сигмоїда (тому вона іде до 1 дуже швидко). Зв'язані опитування, мабуть, мають більш детальну інформацію

— Суреш Венкат

1

@Philip, Суреш: Так, це дуже швидка "розрив". Якщо ви бачите сюжети, ймовірність бути задоволеною різко змінюється від майже 1 до майже 0. Цікаво, що поріг залежить від . Також цікаво, що ця поведінка, здається, стосується лише випадкових випадків.

k

$k$

— Джорджіо Камерані

17

З одного боку, переважна більшість випадків буде незадовільною, як сказано в коментарі Суреша. (Насправді, я гадаю, що якщо ви вибираєте один такий екземпляр рівномірно, ви вже маєте велику ймовірність включити всі вісім заперечень в якості застережень про якусь змінну трійку, тобто тривіально незадовільну.) $2^{|C|}$

З іншого боку, ми можемо знизити кількість задоволених екземплярів на число, яке задовольняється призначенням "нуль": це було б , як для кожної трійки змінних це один пункт, який ми можемо не використовувати. $2^{(7/8)|C|}$

Тоді можна перевершити число задовольняючих примірників, помноживши це на . Оскільки , я думаю, це лише змінює термін другорядного порядку ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
джерело

Коли я вперше розпочав докторські дослідження, я показав, що якщо кількість застережень щодо САТ була більшою за то ці випадки були незадовільними. Я також довів, що якщо кількість застережень знаходилася між інтервалом то ці випадки були або однозначно задоволеними, або незадовільний. Я не пам’ятаю виведення для 3-SAT у верхній частині голови. Гаразд

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun Pay

4

Ця відповідь стосується лише темпів зростання кількості приємних примірників.

Множина є рідкою, якщо кількість n-бітових рядків у множині обмежено (для деякої постійної ), інакше вона щільна. Відомо, що задоволеність (повна NP) та незадовільність (повна CoNP) є обома щільними наборами. Існує рідкісний -повні множини iff . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело