Жорсткість APX передбачає відсутність QPTAS?

Отже, швидкий пошук в Інтернеті змусив мене повірити, що "APXHardness означає, що жодна QPTAS не існує для проблеми, якщо [якийсь клас складності] не включений до якогось [іншого класу складності]", і це також добре відомо! Схоже, це знають усі, крім мене. На жаль, посилання на підтримку цього твердження не наводиться. У мене є два питання:

Яка найсильніша версія цього твердження на сьогодні відома?
Довідка? Будь ласка?

Заздалегідь спасибі.

Відповідь Чандри Чекурі говорить про те, що для $QPTAS$ $APX$ -Жорсткий завдань слід . Хтось може пояснити, чому це правда, або бажано дати посилання на це? Іншими словами, чому квазіполіномна приблизність часу передбачає розв’язаність часу QP? $NP\subseteq QP$

cc.complexity-theory reference-request

— Саріель Хар-Пелед
джерело

Відповіді на це запитання: cstheory.stackexchange.com/questions/9350/… показують, що вкрай малоймовірно, що MAX 3SAT не визнає нічого кращого, ніж 7/8 в субекспоненціальний час (навряд чи це залежить від ETH).

— Суреш Венкат

APX-Твердість слід , що існує таке , що завдання не допускає -аппроксімація , якщо . Ясно, що це виключає PTAS (припустимо, що ). Що стосується QPTAS, він буде виключати це, якщо ви не вірите, що NP міститься в квазіполіномному часі. Наскільки я знаю, це єдина причина, чому APX-твердість виключає QPTAS. $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $P=NP$ $P \neq NP$

Оскільки пара людей запитала більше деталей, ось ще кілька. Твердість APX для задачі мінімізації P означає, що існує фіксований і зменшення поліноміального часу від 3-SAT до P, таким чином, що -приближення для P дозволяє вирішити, чи 3-SAT формула задоволена чи ні. Якщо є QPTAS для P, ми можемо отримати для будь-якого фіксованого a -приближення в часі, сказати . Але це означає, що ми можемо вирішити, чи формула 3-SAT задоволена в $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $\delta > 0$ $(1+\delta)$ $n^{O(\log n)}$ час, що в свою чергу означає, що NP знаходиться в QP. $n^{O(\log n)}$

— Чандра Чекурі
джерело

Чому так (PTAS)

⟹

$\implies$ P = NP) середнє значення (QPTAS)

)? Чи не означає QPTAS апроксимацію в квазіполіномному часі, тоді як

вимагає точного рішення?

⟹ N P \subseteq Q P

$\implies NP\subseteq QP$

N P \subseteq Q P

$NP\subseteq QP$

— RB

@chandra Yeh. Це правдоподібно, ref? (За винятком явного перегляду деталей твердості наближення для 3SAT тощо), що не важко, але краще було б посилання ...)

— Саріель Хар-Пелед

n^{O (\log n)} 2^{1 / δ}

$n^{O(\log n)}2^{1/\delta}$

δ = 1 / n

$\delta = 1/n$

@SureshVenkat Вам потрібно використовувати теорему PCP, яка говорить про те, що робити краще, ніж наближення 7/8 до 3SAT - це NPHard. Ось чому я хочу відповідь;).

— Саріель Хар-Пелед

δ

$\delta$

δ

$\delta$

P

$P$

(1 + δ)

$(1+\delta)$

P

$P$

ϵ

$\epsilon$

ϵ = δ

$\epsilon = \delta$