Чи можемо ми сортувати без перестановок?

Загальновідомо, що сортування перестановок за допомогою транспозиції знаходиться в , оскільки мінімальна кількість транспозицій, необхідних для сортування π ∈ S n, є саме i n v ( π ) = { ( i , j ) ∈ [ n ] × [ n ] : i < j  і  π ( i ) > π ( j ) $\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$. Це поняття "інверсійне число" має також застосування в алгебраїчній комбінаториці, наприклад, воно дозволяє наділити структурою решітки, що називається пермутоедром, і заснована на слабкому порядку Брухата.$S_n$

Це може бути ілюмінацією для перероблення проблеми в групово-теоретичному плані. Нам дана група з генераторним набором Γ і відображенням i G : Γ ∗ → G , і ще одна група H, на яку G діє транзитивно, і ми хочемо вирішити наступну задачу: заданий h ∈ H , знайдемо мінімальну довжину w ∈ Γ ∗ такий, що i G ( w ) . ч = 1 Н . У випадку перестановки G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$ і Γ - сукупність транспозицій.$G = H = S_n$$\Gamma$

Питання: Чи є інші випадки цієї проблеми, які допускають ефективні алгоритми?

Я не маю однозначної відповіді на ваше запитання, але "сортування коси" здається можливим кандидатом. Відповідно до цієї статті у вікіпедії, ми можемо визначити її наступним чином. Нехай є групою, і нехай Н позначає безліч кортежів ( х 1 , ... , х п ) ∈ Х п таке , що х 1 ... х п = 1 Х . Якщо дозволити G - тасьму групи B n, породжену рухами σ i , ми можемо визначити дію B $X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$над :$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

Тобто поєднує ефект заміни та кон'югації у позиціях i та i + 1 . Вирішити цю проблему можливо оптимально за полиномний час, що відповість на ваше запитання.$\sigma_i$$i$$i+1$

Наступний документ Марка Джерума вивчав проблему, яку ви згадали, коли і G = H = A n (група, що чергується):$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• Марк Джерум: Складність пошуку послідовностей генераторів мінімальної довжини. Теорія. Обчислення. Наук. 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 .

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$