Порівняння двох алгоритмів для задачі 3SUM над цілими числами

17

Доповідь "Підквадратичні алгоритми для 3SUM", Ілля Баран, Ерік Д. Демен, Михай Патраску має таку складність для

Проблема 3SUM: задано список $L$ з цілих чисел, якщо є такий, що $n$ $x,y,z \in L$ $x+y=z.$

Вони зазначають: "На стандартному слові ОЗУ зі словами ми отримуємо час роботи . У схемі ОЗУ з одним нестандартним операції, отримує . У зовнішній пам'яті, ми досягаємо , навіть при стандартному припущенні Неподільність даних. Кеш-очевидно, що ми отримуємо час роботи . У всіх випадках наше прискорення майже квадратичне в "паралелізмі", модель може відповідати, що може бути найкращим Дивіться папір Baran, Demaine, Patrascu тут . $w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

Нещодавно документ "Трійки, породжені та любовні трикутники" Грондлунда та Петті довів, що "складність дерева рішень 3SUM становить , і що існує рандомізований алгоритм 3SUM, що працює в час , і детермінований алгоритм, що працює в час. $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

Ці результати спростовують найсильнішу версію гіпотези 3SUM, а саме те, що її дерево рішень (і алгоритмічне) складність становить $Ω(n^2)$ ".

Дивіться цей другий документ тут .

Зрозуміло, що обидва є важливими паперами. Не будучи експертом у цій галузі, моє питання полягає у тому, як порівняти вплив та значення будь-якої з огляду на різні моделі складності. Будь-які інші проникливі коментарі щодо цієї проблеми також вітаються. Наприклад, чи був перший документ вже виключав обмеження ? $\Omega(n^2)$

cc.complexity-theory ds.algorithms

— kodlu
джерело

14

Ось деякі моменти, які допомагають надати перспективу новим результатам.

Результат складності дерева рішень великий. Одна лінія атаки (і Джефф Еріксон може сказати більше про це) полягала в тому, щоб спробувати знизити 3SUM, переглянувши складність рішення (тобто кількість порівнянь, необхідних для вирішення проблеми). Сподівалося, що щось близьке до було досягти. $\Omega(n^2)$

Цей результат рішуче руйнує цей аргумент із зв’язаним . Зауважте, що це нічого не говорить про справжню складність проблеми. Він говорить, що нижня межа дерева рішень не відбудеться. І це (поряд з іншими доказами) ставить під сумнів основну передумову, що 3SUM "морально" близький до . $O(n^{3/2})$ $n^2$

Алгоритмічний результат безумовно є субквадратичним (тобто не у словно-паралельній моделі). Це велика справа, хоча, мабуть, можна посперечатися з приводу того, що це не для якоїсь постійної . $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

Як стверджує @domotorp, це може стати початком ряду нових результатів. Це справді важко сказати. Поточна верхня межа походить від "повторної реалізації" алгоритму дерева рішень за допомогою деяких магічних трюків від Тімоті Чана. Цілком можливо, що це може просуватися далі.

— Суреш Венкат
джерело

4

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

14

$w$ $w$ $\Omega(n^2)$

$n$

— домоторп
джерело

Я задоволений обома відповідями, але міг прийняти лише одну, тому прийняв більш детальну.

— kodlu