Чи проводилися якісь дослідження щодо -SAT вище межі задоволеності?

25

Добре відома характеристика примірників -SAT - відношення кількості пунктів до кількості змінних , тобто коефіцієнт . Для кожного існує порогове значення st \ for , більшість екземплярів є задоволеними, а для більшість випадків є незадовільними. Було проведено багато досліджень для проблем, де , і для проблем з досить малим , $k$ $m$ $n$ $\rho = m/n$ $k$ $\alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho \gg \alpha$ $\rho \ll \alpha$ $\rho$ $k$ -SAT стає вирішуваним у поліномний час. Дивіться, наприклад, статтю з опитування Димитрія Ахліоптаса з Довідника про задоволення ( PDF ).

Мені цікаво, чи була зроблена якась робота в іншому напрямку (де ), наприклад, якщо ми можемо якось перетворити проблему з CNF в DNF в цьому випадку, щоб швидко її вирішити. $\rho \gg \alpha$

Отже, по суті, що відомо про SAT, де ? $\rho = m/n \gg \alpha$

— Метт Грофф
джерело

10

Варто зазначити, що

- функція

.

α

$\alpha$

k

$k$

— Гек Беннетт

чи могла б бути якась трансформація, яка показує якусь симетрію між двома регіонами з обох "сторін" точки переходу? здається правдоподібним. все-таки питання досить широке, в тому сенсі є багато емпіричного / теоретичного вивчення точки переходу, яка не так зосереджена на одній "стороні" чи іншій стороні ...

— vzn

26

Так, було. Нещодавно Моше Варді виступив з оглядом на семінарі BIRS "Теоретичні основи прикладного рішення SAT" :

Моше Варді, Фазові переходи та обчислювальна складність , 2014 рік.

(Моше представляє графік їх експерименту через хвилину 14:30 у своїй розмові, пов'язаній вище.)

Нехай позначає коефіцієнт пропозиції. Коли значення збільшується за поріг, проблема стає простішою для існуючих рішень SAT, але не так просто, як це було до досягнення порогу. Ми дуже стрімко збільшуємо труднощі, коли підходимо до порогу знизу. Після порогу проблема стає легшою порівняно з порогом, але зменшення складності набагато менш круте. $\rho$ $\rho$

Нехай позначає складність задачі wrt до (в їх експерименті - середній час роботи GRASP для випадкових 3SAT випадків із співвідношенням класу ). Моше припускає, що змінюється так: $T_\rho(n)$ $n$ $T_\rho(n)$ $\rho$ $T_\rho(n)$

поріг: - поліном у , $\rho \ll$ $T_\rho(n)$ $n$
біля порогу: - експоненціальна в , $\rho$ $T_\rho(n)$ $n$
поріг: залишається експоненціальним у але показник зменшується зізбільшенням . $\rho \gg$ $T_\rho(n)$ $n$ $\rho$

— Каве
джерело

1

Слід зазначити, що вищезазначені результати є експериментальними результатами (приблизно з 2000 р.) З використанням специфічного SAT-розв'язувача (GRASP). Але теоретично відомо, що для досить великих

(скажімо,

) навіть дозвіл має невеликі спростування незадовільності. І, як писав Ян Йохансем раніше, спростувати 3-SAT легко (у середньому випадку) вже тоді, коли

ρ

$\rho$

Ω (n)

$\Omega(n)$

.

ρ = Ω (\sqrt{n})

$\rho=\Omega(\sqrt{n})$

— Іддо Цамарет

19

Існують щонайменше два напрямки досліджень, що стосуються випадкових для формул із співвідношенням пропозиції / змінної, що перевищує поріг задоволеності: $k\text-\mathsf{SAT}$

Для таких формул були показані нижні межі щодо тривалості спростувань у резолюції та більш міцні системи доказів, що починаються, починаючи з статті " Багато важких прикладів для вирішення " Чватала та Семереді. Ці нижчі межі роздільної здатності мають на увазі нижчі межі під час виконання SAT-вирішувачів на основі DPLL та CDCL. Найсильніші нижні межі - для поліномального обчислення, завдяки Бен-Сассону та Імпальяццо .
Для таких формул існують ефективні детерміновані алгоритми, що підтверджують незадовільність, тобто алгоритми, які виводять "UNSAT" або "Не знаю", де відповідь "UNSAT" вимагається правильним, і він повинен виводити "UNSAT" на незадовільні формули з високою ймовірністю. Найсильніші результати в цьому напрямку - завдяки Фейге і Офеку .

— Ян Йогансен
джерело

Можливо, варто відзначити, що Чватал / Семереді показують, що whp випадкова формула

-SAT з

є незадовільною. Фейга і Офкі дають спектральний алгоритм при

. Отже, залишається

k

$k$

m / n \geq c_{1}

$m/n \ge c_1$

m / n \geq c_{2} n^{1 / 2}

$m/n \ge c_2n^{1/2}$

зазор між

і

, де майже кожна формула нездійсненна, але ми не знаємояк вирішитищо це так.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

c_{1} n

$c_1n$

c_{2} n^{3 / 2}

$c_2n^{3/2}$

— Андраш Саламон

2

ось старе, але відповідне дослідження / кут від провідного експерта.

Край обмеженості ножа Уолш 1998

він показує параметр оцінює кількість рішень і вимірює "обмеженість" і співвідноситься / тенденції приблизно з співвідношенням "до змінної". див. p3 рис. 4, зокрема $\kappa$

На малюнку 4 ми побудуємо оцінену обмеженість вниз по евристичній гілці для випадкових 3-SAT задач. Для L / N <4.3 проблеми є недостатньо обмеженими та вирішуваними. По мірі пошуку пошук зменшується в міру того, як проблеми стають все більш обмеженими та очевидно вирішуваними. Для L / N> 4.3 проблеми є надмірними та нерозв'язними. У міру прогресування пошуку збільшується в міру того, як проблеми стають надмірно обмеженими та очевидно нерозв'язними. $\kappa$ $\kappa$

питання задає питання про . але це відомо, що з емпіричного аналізу є сильно обмеженим і тому в основному наближається до екземплярів часу P (розв'язувач "швидко" виявляє, що вони є нерозв'язними) і тому не є настільки теоретично цікавим (тому що вони не "випробовують / не здійснюють" експоненціальний час -поведінка розв'язувачів в середньому). однак, я особисто не бачив статей / перетворень / теорії, які підтверджують це більш теоретично / жорстко (окрім цього документа, як початку для цього). $m/n \gg\alpha$

— взн
джерело

з іншого боку, мабуть, можливо генерувати окремі "жорсткі" екземпляри будь-якого m / n "виміру", його справедливістю вони є менш статистично ймовірними поза фазовим переходом "P-NP-P".

— vzn