Чи залишилися якісь відкриті проблеми щодо DFA?

Вивчивши детерміновані автомати з кінцевим станом (DFA) у підградці, я відчув, що вони надзвичайно добре розуміються. Моє питання - чи є щось, що ми досі не розуміємо в них. Я не маю на увазі узагальнення DFA, але оригінальні немодифіковані DFA, які ми вивчаємо в недограді.

Це неясне запитання, але я сподіваюся, що ви зрозумієте цю ідею. Я хочу зрозуміти, чи справедливо сказати, що ми повністю розуміємо DFA. Тож я справді маю на увазі питання, які в основному стосуються DFA, а не штучно створених проблем, щоб виглядати як проблеми щодо DFA. Дозвольте навести приклад такої проблеми. Нехай L - порожня мова, якщо P = NP, і деяка нерухома нерегулярна мова, якщо P не NP. Чи може L прийняти DFA? Це питання стосується DFA, але це не про них по духу. Я сподіваюся, що моя думка зрозуміла, і я не отримую педантичних невідповідей від людей.

Коротше кажучи, це справедливо сказати

Ми по суті повністю розуміємо DFA.

Мені шкода, якщо виявиться, що це величезна область досліджень, про яку я не знав, і я просто образив цілу громаду людей.

Ось одна проблема, описана у книзі Шалліта «Другий курс з теорії формальних мов та автоматизмів».

Нехай і v - два виразних слова з | u | = | v | = n . Який розмір найменшого DFA, який приймає u, але відхиляє v , чи навпаки?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Робсон, в своїй статті « Поділ рядків з малими автоматами » в 1989 році довів верхню оцінку . Найвідоміша нижня межа в Ω ( log n ) .$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Для опитування дивіться це .

Ось дуже проста проблема рішення щодо DFA. Враховуючи DFA M, чи приймає M представлення базового-2 принаймні одного просте число?

В даний час ми навіть не знаємо, чи є ця проблема рекурентно вирішуваною.

Якщо це рекурсивно вирішимо, і у нас був алгоритм для нього, ми могли б вирішити давню відкриту проблему щодо того, чи існують якісь прайми Ферма (прайми форми ) більші за найбільші відомі 65537. (Тому що будь-який прайм із базовим представленням форми 1 0 + 1 повинен бути простим Ферматом.)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Я хочу вказати на ще одну дослідницьку проблему, яка стосується взаємодії дуже основних понять про DFA.

$2^n$$2^n$

Проблема магічного числа

$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

$\alpha$$\alpha$

$1$$3$

Галина Йіраскова. Магічні числа та потрійний алфавіт. В: 13 Міжнародна конференція з розвитку мовної теорії (DLT 2009), том 5583 конспектів лекцій з інформатики, стор. 300–311.

Назва: Непорожня перехрестя для двох ДФА

$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

$o(n^2)$

$O(n^{\delta})$$\delta$

Пояснення: Вирішення порожнечі перетину звичайних мов у підквадратичний час

Це може бути вам корисним: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Хорошого дня! :)

Ось відкрита проблема, пов’язана з DFA та теорією машинного навчання: чи є однаково випадкові (випадкові переходи та поведінка прийняття / відхилення) DFA, що вивчаються в моделі PAC?

Зауважте: ми вважаємо, що довільні показники DFA не засвоюють результатів криптографічної твердості . Для випадкових DFA у нас є лише нижчі межі SQ , які не такі сильні.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

Мені здається, що формула закритої форми повинна існувати, але нічого не відомо. Відомі деякі асимптотичні межі:

$n$

Ось питання, пов'язане з DFA, яке я тут раніше, і досі воно відкрите, наскільки я знаю:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Це питання має наслідки для машинного навчання .

("мислення поза скринькою" ...) це дещо надумана проблема, пов’язана з DFA (я не бачив, щоб це вивчали в інших місцях), але виявляється темою в TCS, що навіть багато очевидно "простих" обчислювальних об'єктів (наприклад, DFA) можуть мати складні властивості , також аспект / тема, втілена в теоремі Райса. (певною мірою кінцева "складність" - це "нерозбірливість", яка називається повнотою Тюрінга.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, також є RL (і DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

Тепер, щоб більше пов'язати це з питанням, хоча це не широко зазначається (дехто вважає тривіальним), багато відкритих проблем у TCS / математиці тісно пов'язані з невідповідністю, оскільки це дає оракул для проблеми зупинки, вони можуть бути " вирішено ".

отже, у певному сенсі, пов’язуючи це все разом, використовуючи цю основну проблему щодо DFA, яку не можна визначити, завжди буде відкритих проблем щодо DFA, оскільки завжди будуть "відкриті" проблеми щодо DFA (такі, як ця), еквівалентні невирішеним проблемам . насправді, використовуючи теорему Райса в зворотному порядку, оскільки ця конструкція певним чином робить, в основному будь-яке відносно "просте", але нетривіальне обчислювальне властивість в TCS може бути використане для побудови невирішених проблем.

[1] Проблеми зі словом, що вимагають експоненціального часу / Stockmeyer & Meyer

[2] Мейєр, А.Р. та Л. Стокмейер. Проблема еквівалентності для регулярних виразів з квадратуванням вимагає експоненціального простору. 13-й симпозіум IEEE з теорії комутації та автоматів, жовтень 1972, с.125–129.

[3] Вступ до мов, автоматів та обчислень / Hopcroft / Ullman.